수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 중심을 이용한 식 변형

원 $C_1$의 중심을 $O_1(8,2)$, 반지름을 $r_1=2$라 하고, 원 $C_2$의 중심을 $O_2(3,-4)$, 반지름을 $r_2=2$라고 합시다.

우리가 구해야 할 것은 $\overline{AP}+\overline{PQ}+\overline{QB}$의 최솟값입니다.

원 위의 점까지의 거리는 중심까지의 거리에서 반지름을 뺀 값으로 생각합니다.

즉, $\overline{AP}\ge \overline{O_{1}P}-r_1$ 이고, $\overline{QB}\ge \overline{Q{O}_2}-r_2$ 입니다.

이것을 원래 식에 대입하면,

$\overline{AP}+\overline{PQ}+\overline{QB}\ge (\overline{O_{1}P}-r_1)+\overline{PQ}+(\overline{Q{O}_2}-r_2)$

$=\overline{O_{1}P}+\overline{PQ}+\overline{Q{O}_2}-(r_1+r_2)$

$=\overline{O_{1}P}+\overline{PQ}+\overline{Q{O}_2}-4$

이제 $\overline{O_{1}P}+\overline{PQ}+\overline{Q{O}_2}$의 최솟값만 구하면 됩니다.

step2. $x$축 대칭이동

점 $P$는 $x$축 위를 움직이는 점입니다.

점 P가 $x$축 위에 있으므로 $O_1$을 $x$축에 대해 대칭이동해야 합니다. 엉뚱한 선에 대칭이동하지 않도록 주의하세요.

$O_1(8,2)$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $O_1^{\prime }$이라고 하면, $y$좌표의 부호가 바뀌어 $O_1^{\prime }(8,-2)$가 됩니다.

대칭이동의 성질에 의해 $\overline{O_{1}P}=\overline{O_1^{\prime }P}$가 성립합니다.

step3. 직선 $y=x$ 대칭이동

점 $Q$는 직선 $y=x$ 위를 움직이는 점입니다.

따라서 $O_2(3,-4)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점을 $O_2^{\prime }$이라고 하면, $x$좌표와 $y$좌표의 자리가 바뀌어 $O_2^{\prime }(-4,3)$이 됩니다.

마찬가지로 대칭이동의 성질에 의해 $\overline{Q{O}_2}=\overline{Q{O}_2^{\prime }}$가 성립합니다.

step4. 최단거리 계산

이제 식을 다시 써보면,

$\overline{O_{1}P}+\overline{PQ}+\overline{Q{O}_2}=\overline{O_1^{\prime }P}+\overline{PQ}+\overline{Q{O}_2^{\prime }}$ 입니다.

이 세 선분의 길이의 합이 최소가 되려면, 점 $O_1^{\prime }$에서 점 $O_2^{\prime }$까지 일직선으로 연결되어야 합니다.

즉, 최솟값은 선분 $O_1^{\prime }{O}_2^{\prime }$의 길이와 같습니다.

두 점 $O_1^{\prime }(8,-2)$와 $O_2^{\prime }(-4,3)$ 사이의 거리를 구해보면,

$\overline{O_1^{\prime }{O}_2^{\prime }}=\sqrt{(-4-8{)}^2+(3-(-2){)}^2}=\sqrt{(-12{)}^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ 입니다.

따라서 $\overline{O_{1}P}+\overline{PQ}+\overline{Q{O}_2}$의 최솟값은 13입니다.

우리가 최종적으로 구하려던 값은 여기서 반지름들의 합인 4를 빼야 하므로,

최솟값은 $13-4=9$ 가 됩니다.

step1. 중심을 이용한 식 변형

$\overline{AP}+\overline{PQ}+\overline{QB}\ge (\overline{O_{1}P}-r_1)+\overline{PQ}+(\overline{O_{2}Q}-r_2)$

$=\overline{O_{1}P}+\overline{PQ}+\overline{O_{2}Q}-4$

step2. $x$축 대칭이동

--- 점 P가 $x$축 위에 있으므로

$O_1(8,2)$를 $x$축 대칭이동 $\to O_1^{\prime }(8,-2)$

$\overline{O_{1}P}=\overline{O_1^{\prime }P}$

step3. 직선 $y=x$ 대칭이동

--- 점 Q가 $y=x$ 위에 있으므로

$O_2(3,-4)$를 $y=x$ 대칭이동 $\to O_2^{\prime }(-4,3)$

$\overline{O_{2}Q}=\overline{O_2^{\prime }Q}$

step4. 최단거리 계산

$\overline{O_1^{\prime }P}+\overline{PQ}+\overline{O_2^{\prime }Q}\ge \overline{O_1^{\prime }{O}_2^{\prime }}$

$\overline{O_1^{\prime }{O}_2^{\prime }}=\sqrt{(-4-8{)}^2+(3-(-2){)}^2}=\sqrt{144+25}=13$

최솟값 $=13-4=9$

$\therefore ③$