수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 평행이동 조건 해석하기

원래 원의 중심을 $(a,f(a))$라고 해볼게요. 이 원을 $x$축, $y$축 방향으로 각각 $m$만큼 평행이동하면 중심은 $(a+m,f(a)+m)$이 됩니다.

이 원의 반지름이 $1$이고 두 축에 동시에 접하므로, 이동된 중심의 좌표는 $(\pm 1,\pm 1)$이어야 해요.

즉, $a+m=\pm 1$ 이고 $f(a)+m=\pm 1$ 이 성립해야 합니다.

첫 번째 식에서 $m=\pm 1-a$ 로 정리한 뒤, 두 번째 식에 대입해 볼까요?

$f(a)+(\pm 1-a)=\pm 1$

$f(a)-a=\pm 1-(\pm 1)$

우변의 $\pm 1-(\pm 1)$이 가질 수 있는 값은 $1-1=0$, $-1-(-1)=0$, $1-(-1)=2$, $-1-1=-2$ 입니다.

따라서 $f(a)-a$ 의 값은 $0,2,-2$ 중 하나가 됩니다.

이를 다시 쓰면 $f(a)=a$, $f(a)=a+2$, $f(a)=a-2$ 가 됩니다. 즉, 조건을 만족하는 원의 중심 $(x,f(x))$는 세 직선 $y=x$, $y=x+2$, $y=x-2$ 위에 있어야 한다는 뜻이에요!

step2. 교점 5개의 의미 파악하기

이제 이차함수 $y=f(x)$와 세 평행선 $y=x+2,y=x,y=x-2$의 교점을 생각해 봅시다.

문제에서 조건을 만족하는 원이 5개라고 했으므로, 교점의 총 개수가 5개여야 해요.

이차함수 포물선과 하나의 직선은 최대 2개의 점에서 만날 수 있죠. 3개의 직선과 만나서 총 5개의 교점이 생기려면 어떻게 되어야 할까요?

$2+2+1=5$ 이므로, 두 직선과는 각각 2점에서 만나고, 나머지 한 직선과는 1점에서 만나야(접해야) 합니다.

step3. 이차함수의 개형 확정하기

교점 5개의 $x$좌표 중 가장 작은 값이 $x_1=0$이라고 했어요. 그럼 $f(0)$의 값은 세 직선의 $y$절편인 $0,2,-2$ 중 하나여야 합니다.

그런데 문제 마지막에 $x_1\le x\le x_5$에서 함수 $f(x)$의 최솟값이 $0$보다 크다는 조건이 있어요.

$x_1=0$이므로 구간에 $0$이 포함되고, 따라서 $f(0)>0$이어야만 합니다.

그러므로 $f(0)$은 $0$이나 $-2$가 될 수 없고, 무조건 $f(0)=2$가 되어야 해요. 즉, 점 $(0,2)$는 가장 위에 있는 직선 $y=x+2$와의 교점입니다.

여기서 이차함수가 위로 볼록인지 아래로 볼록인지 헷갈리기 쉽습니다.

만약 위로 볼록하다면, 가장 위에 있는 직선 $y=x+2$와 접해야만 5개의 교점을 만들 수 있어요. 그런데 $x=0$에서 접하게 되면, 나머지 직선들과의 교점은 $x=0$보다 작은 쪽(음수)에서도 생기게 됩니다. 이는 $x_1=0$이 '가장 작은' $x$좌표라는 조건에 모순이 되죠.

따라서 $f(x)$는 아래로 볼록해야 하며, 가장 아래에 있는 직선 $y=x-2$와 접해야 합니다.

step4. 대칭성을 이용해 함수식 완성하기

$f(x)$가 $y=x-2$와 $x=\alpha$에서 접한다고 식을 세워볼게요.

$f(x)-(x-2)=k(x-\alpha {)}^2$ ($k>0$)

$f(x)=k(x-\alpha {)}^2+x-2$

앞서 $f(0)=2$임을 알았으니 대입해 봅니다.

$f(0)=k{\alpha }^2-2=2⟹k{\alpha }^2=4$

이제 세 직선과의 교점의 $x$좌표들을 구해볼까요?

1) $y=x+2$ 와의 교점: $k(x-\alpha {)}^2-4=0⟹(x-\alpha {)}^2=4/k={\alpha }^2⟹x=0,2\alpha$

2) $y=x$ 와의 교점: $k(x-\alpha {)}^2-2=0⟹(x-\alpha {)}^2=2/k={\alpha }^2/2⟹x=\alpha \pm \frac{\alpha }{\sqrt{2}}$

3) $y=x-2$ 와의 교점: $k(x-\alpha {)}^2=0⟹x=\alpha$ (중근)

$x_1=0$이 가장 작아야 하므로 $\alpha >0$입니다. 크기 순으로 나열하면 다음과 같아요.

$x_1=0$

$x_2=\alpha -\frac{\alpha }{\sqrt{2}}$

$x_3=\alpha$

$x_4=\alpha +\frac{\alpha }{\sqrt{2}}$

$x_5=2\alpha$

문제에서 $x_2+x_3+x_4+x_5=20$이라고 했으므로 다 더해봅시다.

$(\alpha -\frac{\alpha }{\sqrt{2}})+\alpha +(\alpha +\frac{\alpha }{\sqrt{2}})+2\alpha =5\alpha =20$

따라서 $\alpha =4$가 됩니다.

$k{\alpha }^2=4$에 대입하면 $k(16)=4⟹k=\frac{1}{4}$이네요.

최종적으로 함수식은 $f(x)=\frac{1}{4}(x-4{)}^2+x-2$ 입니다.

(참고로 구간 $[0,8]$에서 $f(x)=\frac{1}{4}(x-2{)}^2+1$이므로 최솟값은 $1$이 되어 $0$보다 크다는 조건도 완벽히 만족합니다.)

step5. 정답 계산하기

이제 구하고자 하는 $f(20)$의 값을 계산해 봅시다.

$f(20)=\frac{1}{4}(20-4{)}^2+20-2$

$f(20)=\frac{1}{4}(16{)}^2+18$

$f(20)=\frac{1}{4}(256)+18$

$f(20)=64+18=82$

따라서 정답은 82입니다.

step1. 평행이동 조건 해석

중심 $(a,f(a))$ 이동 $\to (a+m,f(a)+m)$

축에 동시 접함 $⟹a+m=\pm 1,f(a)+m=\pm 1$

$m=\pm 1-a$ 대입 $⟹f(a)-a=\pm 1-(\pm 1)\in \{0,2,-2\}$

$\therefore f(x)$는 $y=x,y=x+2,y=x-2$ 와 만남.

step2. & 3. 개형 및 함수식 세우기

--- 교점이 5개이므로 한 직선과는 접해야 함

$x_1=0$ 이고 $f(x)>0$ 이므로 $f(0)=2$ (점 $(0,2)$는 $y=x+2$ 위)

--- $x_1=0$이 최소 근이 되려면 아래로 볼록하고 $y=x-2$에 접해야 함

$f(x)=k(x-\alpha {)}^2+x-2(k>0,\alpha >0)$

$f(0)=k{\alpha }^2-2=2⟹k{\alpha }^2=4$

step4. 교점 구하기 및 $\alpha$ 계산

$f(x)=x+2⟹k(x-\alpha {)}^2=4⟹x=0,2\alpha$

$f(x)=x⟹k(x-\alpha {)}^2=2⟹x=\alpha \pm \frac{\alpha }{\sqrt{2}}$

$f(x)=x-2⟹k(x-\alpha {)}^2=0⟹x=\alpha$

--- 근의 합 조건 이용

$x_2+x_3+x_4+x_5=(\alpha -\frac{\alpha }{\sqrt{2}})+\alpha +(\alpha +\frac{\alpha }{\sqrt{2}})+2\alpha =5\alpha =20$

$\alpha =4⟹k=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$

$\therefore f(x)=\frac{1}{4}(x-4{)}^2+x-2$

step5. 정답 계산

$f(20)=\frac{1}{4}(16{)}^2+18=64+18=82$