2023년 9월 학력평가 수학 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]

28. 그림과 같이

2 < a < 4

인 실수

a

에 대하여 두 함수

f (x) = a x^{2}

g (x) = - a (x - a)^{2} + a^{2}

의 그래프가 있다. 직선

y = 4 a

와 함수

y = f (x)

의 그래프가 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 직선

y = a x

와 함수

y = g (x)

의 그래프가 만나는 점을 각각 C, D라 하자. 사각형 ACDB의 넓이의 최댓값을

M

이라 할 때,

8 \times M

의 값을 구하시오. (단, 점 A의

x

좌표는 점 B의

x

좌표보다 작고, 점 C의

x

좌표는 점 D의

x

좌표보다 작다.) [4점]

이 문제는 이차함수와 직선의 교점을 구하고, 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 다각형의 넓이를 $a$ 에 대한 이차식으로 표현한 뒤 최댓값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2 < a < 4

f (x) = a x^{2}

g (x) = - a (x - a)^{2} + a^{2}

- 직선

y = 4 a

와

y = f (x)

의 교점 A, B (

x_{A} < x_{B}

)
- 직선

y = a x

와

y = g (x)

의 교점 C, D (

x_{C} < x_{D}

)
- 사각형 ACDB의 넓이의 최댓값 =

M

이 문제는 교점의 좌표를 구하고, 사각형을 두 개의 삼각형으로 분할하여 넓이의 최댓값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 함수 $f (x)$ 와 직선 $y = 4 a$ 의 교점 A, B의 좌표를 구합니다.

step2. 함수 $g (x)$ 와 직선 $y = a x$ 의 교점 C, D의 좌표를 구합니다.

step3. 사각형 ACDB를 대각선 AD를 기준으로 두 삼각형으로 나누어 넓이 $S (a)$ 를 구합니다.

step4. 이차함수의 최대·최소를 이용하여 $S (a)$ 의 최댓값 $M$ 을 구하고 $8 M$ 을 계산합니다.

- 이차방정식의 인수분해 : $x^{2} - (α + β) x + α β = 0$ 형태의 이차방정식은 $(x - α) (x - β) = 0$ 으로 인수분해할 수 있습니다.

- 점과 직선 사이의 거리 : 점 $(x_{1}, y_{1})$ 에서 직선 $A x + B y + C = 0$ 까지의 거리는 $\frac{| A x_{1} + B y_{1} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ 입니다.

그래프 문제의 기본은 '교점의 좌표 구하기'입니다. A, B, C, D의 좌표를

a

에 대한 식으로 나타내는 것이 첫걸음이에요. 그 후 복잡해 보이는 사각형의 넓이는 구하기 쉬운 두 개의 삼각형으로 쪼개서 접근하는 것이 핵심입니다.

step1. 점 A, B의 좌표 구하기

먼저 함수 $f (x) = a x^{2}$ 와 직선 $y = 4 a$ 가 만나는 점 A, B의 좌표를 구해볼게요.

두 식을 연립하면 $a x^{2} = 4 a$ 가 됩니다.

문제에서 $a > 2$ 라고 했으므로 양변을 $a$ 로 나눌 수 있어요.

$x^{2} = 4$ 이므로 $x = 2$ 또는 $x = - 2$ 가 나옵니다.

점 A의 $x$ 좌표가 점 B의 $x$ 좌표보다 작다고 했으니, $A (- 2, 4 a)$ , $B (2, 4 a)$ 가 됩니다.

step2. 점 C, D의 좌표 구하기

이번엔 함수 $g (x) = - a (x - a)^{2} + a^{2}$ 와 직선 $y = a x$ 가 만나는 점 C, D의 좌표를 구해봅시다.

두 식을 연립하면 $- a (x - a)^{2} + a^{2} = a x$ 가 됩니다.

이 식을 전개할 때 부호 실수를 하기 쉬우니 차근차근 전개해야 해요.

$- a (x^{2} - 2 a x + a^{2}) + a^{2} = a x$

$- a x^{2} + 2 a^{2} x - a^{3} + a^{2} = a x$

양변을 $- a$ 로 나누어 정리해볼게요.

$x^{2} - 2 a x + a^{2} - a = - x$

$x^{2} - (2 a - 1) x + a^{2} - a = 0$

여기서 상수항 $a^{2} - a$ 를 $a (a - 1)$ 로 묶어주면 인수분해가 보입니다.

$x^{2} - (2 a - 1) x + a (a - 1) = 0$

$(x - a) {x - (a - 1)} = 0$

따라서 $x = a - 1$ 또는 $x = a$ 가 됩니다.

점 C의 $x$ 좌표가 점 D의 $x$ 좌표보다 작으므로 $x_{C} = a - 1$ , $x_{D} = a$ 입니다.

이 점들은 직선 $y = a x$ 위에 있으므로 $y$ 좌표를 구하면 $C (a - 1, a^{2} - a)$ , $D (a, a^{2})$ 가 됩니다.

step3. 사각형 ACDB의 넓이 구하기

이제 네 점의 좌표를 모두 알았으니 사각형 ACDB의 넓이를 구해볼 차례입니다.

사각형을 대각선 AD를 그어 $△ A B D$ 와 $△ A C D$ 로 나누어 넓이를 구하는 것이 가장 효율적입니다.

1) $△ A B D$ 의 넓이:

선분 AB는 $y = 4 a$ 위에 있어 $x$ 축과 평행하므로 밑변으로 삼기 아주 좋습니다.

밑변의 길이 $A B = 2 - (- 2) = 4$ 입니다.

높이는 점 A, B의 $y$ 좌표( $4 a$ )와 점 D의 $y$ 좌표( $a^{2}$ )의 차이이므로 $4 a - a^{2}$ 이 됩니다.

따라서 $△ A B D$ 의 넓이 $= \frac{1}{2} \times 4 \times (4 a - a^{2}) = 8 a - 2 a^{2}$ 입니다.

2) $△ A C D$ 의 넓이:

선분 CD를 밑변으로 삼아볼게요.

$C D$ 의 길이 $= \sqrt{{a - (a - 1)}^{2} + {a^{2} - (a^{2} - a)}^{2}} = \sqrt{1^{2} + a^{2}} = \sqrt{a^{2} + 1}$ 입니다.

높이는 점 A $(- 2, 4 a)$ 에서 직선 CD(즉, $a x - y = 0$ )까지의 거리 $d$ 가 됩니다.

점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰면,

$d = \frac{| a (- 2) - 4 a |}{\sqrt{a^{2} + (- 1)^{2}}} = \frac{| - 6 a |}{\sqrt{a^{2} + 1}}$

$a > 0$ 이므로 $| - 6 a | = 6 a$ 가 되어 $d = \frac{6 a}{\sqrt{a^{2} + 1}}$ 입니다.

따라서 $△ A C D$ 의 넓이 $= \frac{1}{2} \times \sqrt{a^{2} + 1} \times \frac{6 a}{\sqrt{a^{2} + 1}} = 3 a$ 입니다.

결과적으로 사각형 ACDB의 넓이 $S (a)$ 는 두 삼각형의 넓이의 합이므로,

$S (a) = (8 a - 2 a^{2}) + 3 a = - 2 a^{2} + 11 a$ 가 됩니다.

step4. 넓이의 최댓값 구하기

넓이 $S (a) = - 2 a^{2} + 11 a$ 의 최댓값을 구하기 위해 완전제곱식으로 변형해봅시다.

$S (a) = - 2 (a^{2} - \frac{11}{2} a)$

$= - 2 (a - \frac{11}{4})^{2} + 2 \times (\frac{11}{4})^{2}$

$= - 2 (a - \frac{11}{4})^{2} + \frac{121}{8}$

문제에서 주어진 $a$ 의 범위가 $2 < a < 4$ 인데, $a = \frac{11}{4} = 2.75$ 는 이 범위 안에 잘 들어갑니다.

따라서 $a = \frac{11}{4}$ 일 때 넓이의 최댓값 $M = \frac{121}{8}$ 을 가집니다.

우리가 구해야 하는 값은 $8 \times M$ 이므로,

$8 \times \frac{121}{8} = 121$ 이 됩니다.

step1. 점 A, B의 좌표

$a x^{2} = 4 a \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

$A (- 2, 4 a), B (2, 4 a)$

step2. 점 C, D의 좌표

$- a (x - a)^{2} + a^{2} = a x$

$- a x^{2} + 2 a^{2} x - a^{3} + a^{2} - a x = 0$

$x^{2} - (2 a - 1) x + a (a - 1) = 0$

$(x - a) (x - (a - 1)) = 0 \Rightarrow x = a - 1, a$

$C (a - 1, a^{2} - a), D (a, a^{2})$

step3. 사각형 ACDB의 넓이

--- 대각선 AD로 분할하여 $△ A B D + △ A C D$ 계산

$△ A B D = \frac{1}{2} \times 4 \times (4 a - a^{2}) = 8 a - 2 a^{2}$

$C D = \sqrt{1^{2} + a^{2}} = \sqrt{a^{2} + 1}$

--- 점 A에서 직선 $a x - y = 0$ 까지의 거리

$h = \frac{| - 2 a - 4 a |}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \frac{6 a}{\sqrt{a^{2} + 1}}$

$△ A C D = \frac{1}{2} \times \sqrt{a^{2} + 1} \times \frac{6 a}{\sqrt{a^{2} + 1}} = 3 a$

$S (a) = (8 a - 2 a^{2}) + 3 a = - 2 a^{2} + 11 a$

step4. 최댓값 계산

$S (a) = - 2 (a - \frac{11}{4})^{2} + \frac{121}{8}$

$M = \frac{121}{8}$

$∴ 8 M = 121$

🔒 막힌 이유

두 곡선과 직선의 교점 C, D의 좌표를 구하는 방정식 $- a (x - a)^{2} + a^{2} = a x$ 를 풀 때, 식을 전개하고 인수분해하는 과정에서 계산이 복잡해져 당황할 수 있습니다.
네 점의 좌표를 모두 구한 후, 사각형 ACDB의 넓이를 구하는 식을 세울 때 어떤 방식으로 도형을 쪼개야 계산이 간단해질지 막막할 수 있습니다.

🔑 돌파구

이차방정식을 내림차순으로 정리한 후, 상수항 $a^{2} - a$ 를 $a (a - 1)$ 로 묶어내면 크로스(cross) 방법으로 쉽게 인수분해할 수 있습니다.
사각형을 대각선 AD를 기준으로 두 개의 삼각형 $△ A B D$ 와 $△ A C D$ 로 쪼개어 넓이를 구하세요. $△ A B D$ 는 밑변이 $x$ 축에 평행하여 넓이 구하기가 쉽고, $△ A C D$ 는 점과 직선 사이의 거리 공식을 활용하면 깔끔하게 계산됩니다.
(팁: 좌표평면 위의 다각형 넓이는 축에 평행한 선분을 밑변으로 삼거나, 점과 직선 사이의 거리를 적극 활용하세요.)

2023년 9월 학력평가 고1 수학 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학(상) · 이차함수의 그래프 / 이차방정식 / 점과 직선 사이의 거리 / 이차함수의 최대·최소
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구