2023년 9월 학력평가 수학 3번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 방정식을 세우고 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 원점과 점 $A$ 사이의 거리를 구하는 식을 세웁니다.

step2. 주어진 거리 값과 식을 같다고 놓고 양변을 제곱하여 $a^{2}$ 의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 두 점 사이의 거리 공식 : 좌표평면 위의 두 점 $P (x_{1}, y_{1})$ , $Q (x_{2}, y_{2})$ 사이의 거리는 $\overset{―}{P Q} = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ 입니다. 특히 한 점이 원점 $O (0, 0)$ 일 때, 점 $A (x, y)$ 와의 거리는 $\overset{―}{O A} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 입니다.

5. 구체적 풀이

좌표평면에서 두 점 사이의 거리가 주어졌네요! 원점

O

의 좌표는

(0, 0)

이므로, 점

A (a, 3)

과의 거리를 구하는 공식을 바로 적용해 볼 수 있겠어요.

step1. 두 점 사이의 거리 식 세우기

원점 $O$ 의 좌표는 $(0, 0)$ 이에요. 점 $A (a, 3)$ 과 원점 $O (0, 0)$ 사이의 거리 $\overset{―}{O A}$ 를 구하는 식을 세워볼게요.

두 점 사이의 거리 공식에 의해 $\overset{―}{O A} = \sqrt{(a - 0)^{2} + (3 - 0)^{2}} = \sqrt{a^{2} + 3^{2}} = \sqrt{a^{2} + 9}$ 가 됩니다.

step2. 방정식 풀기

문제에서 $\overset{―}{O A} = 4$ 라고 주어졌어요.

따라서 우리가 세운 식과 같다고 놓으면 $\sqrt{a^{2} + 9} = 4$ 가 됩니다.

루트 기호를 없애기 위해 양변을 제곱해야 한다는 점을 잊지 마세요!

양변을 제곱하면 $a^{2} + 9 = 16$ 이 됩니다.

이제 9를 우변으로 이항하면 $a^{2} = 16 - 9 = 7$ 이 됩니다.

우리가 구하고자 하는 값이 $a^{2}$ 이므로, 정답은 7입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 두 점 사이의 거리 식 세우기

$\overset{―}{O A} = \sqrt{a^{2} + 3^{2}} = \sqrt{a^{2} + 9}$

step2. 방정식 풀기

$\sqrt{a^{2} + 9} = 4$

$a^{2} + 9 = 16$ --- 양변을 제곱

$a^{2} = 7$

$∴ ②$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

두 점 사이의 거리 공식을 잊어버렸거나, 원점의 좌표가 $(0, 0)$ 임을 떠올리지 못해 식을 세우지 못할 수 있습니다.
루트가 포함된 방정식을 풀 때 양변을 제곱해야 한다는 사실을 놓칠 수 있습니다.

🔑 돌파구

원점 $O (0, 0)$ 과 점 $A (x_{1}, y_{1})$ 사이의 거리는 피타고라스 정리에 의해 $\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ 임을 떠올려 보세요.
거리 식에 루트가 있으므로, 양변을 제곱하여 루트를 없앤 후 $a^{2}$ 에 대해 정리해 보세요.
팁: 두 점 사이의 거리는 항상 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하는 피타고라스 정리와 같습니다.

2023년 9월 학력평가 고1 수학 3번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 두 점 사이의 거리 / 좌표평면
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구