수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $x$축 대칭이동한 이차함수의 식 구하기

주어진 이차함수는 $y=-x^2$입니다.

$x$축에 대하여 대칭이동할 때 $x$의 부호를 바꾸는 것으로 착각하기 쉽습니다. $x$축 대칭은 위아래가 뒤집히는 것이므로 $y$의 부호를 바꿔야 해요.

$y$ 대신 $-y$를 대입하면 $-y=-x^2$이 되고, 양변에 $-1$을 곱하면 $y=x^2$이 됩니다.

step2. 평행이동한 이차함수의 식 구하기

이제 $y=x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 4만큼, $y$축의 방향으로 $m$만큼 평행이동합니다.

$x$ 대신 $x-4$, $y$ 대신 $y-m$을 대입하면 $y-m=(x-4{)}^2$이 됩니다.

식을 $y$에 대하여 정리하고 전개하면 $y=(x-4{)}^2+m=x^2-8x+16+m$이 됩니다.

step3. 접할 조건을 이용하여 $m$의 값 구하기

이 이차함수의 그래프가 직선 $y=2x+3$에 접한다고 했습니다.

두 그래프가 접한다는 것은 교점이 1개라는 뜻이므로, 두 식을 같다고 놓은 이차방정식이 중근을 가져야 합니다. 즉, 판별식 $D=0$을 이용합니다.

두 식을 연립하면 $x^2-8x+16+m=2x+3$이 됩니다.

우변의 항을 좌변으로 이항하여 정리하면 $x^2-10x+13+m=0$입니다.

이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 짝수 판별식 $\frac{D}{4}=0$을 적용합니다.

$\frac{D}{4}=(-5{)}^2-(13+m)=25-13-m=12-m=0$

따라서 $m=12$가 됩니다.

step1. $x$축 대칭이동

$y=-x^2\stackrel{x\text{축 대칭}}{\to }-y=-x^2⟹y=x^2$

step2. 평행이동

$y=(x-4{)}^2+m=x^2-8x+16+m$

step3. 접할 조건을 이용하여 $m$의 값 구하기

$x^2-8x+16+m=2x+3$

$x^2-10x+13+m=0$

$\frac{D}{4}=(-5{)}^2-(13+m)=0$   --- 접하므로 판별식 $D=0$ 이용

$25-13-m=0$

$\therefore m=12$