2023년 9월 학력평가 수학 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]

27. 다항식

P (x)

에 대하여

(x - 2) P (x) - x^{2}

을

P (x) - x

로 나누었을 때의 몫은

Q (x)

, 나머지는

P (x) - 3 x

이다.

P (x)

를

Q (x)

로 나눈 나머지가 10일 때,

P (30)

의 값을 구하시오. (단, 다항식

P (x) - x

는 0이 아니다.) [4점]

이 문제는 다항식의 나눗셈에서 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작다는 성질을 이용하여 미지의 다항식을 추론할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

(x - 2) P (x) - x^{2} = (P (x) - x) Q (x) + P (x) - 3 x

P (x)

를

Q (x)

로 나눈 나머지는

10

- 다항식

P (x) - x \neq 0

이 문제는 다항식의 나눗셈 항등식을 세우고, 나머지의 차수 조건을 이용하여 $P (x)$ 의 차수와 계수를 결정하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 나눗셈의 관계식을 세우고 차수 조건을 확인합니다.

step2. 차수 조건을 통해 $P (x)$ 가 1차식이며 최고차항의 계수가 3임을 알아냅니다.

step3. 항등식에 $P (x)$ 를 대입하여 몫인 $Q (x)$ 를 구합니다.

step4. 나머지 정리를 이용하여 $P (x)$ 의 상수항을 구하고 $P (30)$ 을 계산합니다.

- 다항식의 나눗셈에 대한 항등식 : 다항식 $A$ 를 다항식 $B$ ( $B \neq 0$ )로 나누었을 때의 몫을 $Q$ , 나머지를 $R$ 이라 하면 $A = B Q + R$ 이 성립합니다. 이때 $R$ 의 차수는 $B$ 의 차수보다 작아야 합니다.

- 나머지 정리 : 다항식 $P (x)$ 를 일차식 $x - α$ 로 나누었을 때의 나머지는 $P (α)$ 와 같습니다.

문제를 처음 보면

P (x)

가 어떤 식인지 전혀 주어져 있지 않아 당황스러울 수 있어요. 이럴 때는 가장 기본으로 돌아가서 '나눗셈의 관계식(

A = B Q + R

)'을 먼저 적어보는 것이 중요해요. 식을 적고 나면, 나누는 식과 나머지의 형태가 눈에 들어오면서 '차수'를 비교해야겠다는 아이디어를 떠올릴 수 있답니다.

step1. 나눗셈 관계식과 차수 조건 확인

먼저 문제에 주어진 나눗셈 상황을 항등식으로 표현해 볼게요.

$(x - 2) P (x) - x^{2} = {P (x) - x} Q (x) + P (x) - 3 x$

여기서 나누는 식은 $P (x) - x$ 이고, 나머지는 $P (x) - 3 x$ 예요.

다항식의 나눗셈에서는 항상 '나머지의 차수 < 나누는 식의 차수'가 성립해야 해요.

따라서 다음 부등식을 만족해야 합니다.

$\deg (P (x) - 3 x) < \deg (P (x) - x)$

step2. $P (x)$ 의 차수와 계수 결정

이제 $P (x)$ 가 몇 차식인지 추론해 볼까요?

만약 $P (x)$ 가 2차 이상의 다항식이라면, $P (x) - 3 x$ 와 $P (x) - x$ 모두 최고차항이 $P (x)$ 의 최고차항과 같아져서 두 식의 차수가 똑같아져요. 이는 차수 조건에 모순이 되죠.

따라서 $P (x)$ 는 반드시 1차 이하의 다항식이어야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다.

$P (x)$ 를 1차식인 $a x + b$ 라고 가정해 볼게요.

그러면 나누는 식과 나머지는 다음과 같이 정리됩니다.

나누는 식: $P (x) - x = (a - 1) x + b$

나머지: $P (x) - 3 x = (a - 3) x + b$

나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작으려면, 나머지가 상수항이 되어야 해요. 즉, $x$ 의 계수인 $a - 3$ 이 $0$ 이 되어야 하죠.

$a - 3 = 0 ⟹ a = 3$

(만약 $a = 1$ 이라면 나누는 식이 상수항이 되고 나머지가 1차식이 되어 조건에 맞지 않아요.)

결과적으로 $P (x) = 3 x + b$ 형태임을 알 수 있습니다.

step3. $Q (x)$ 구하기

이제 알아낸 $P (x) = 3 x + b$ 를 처음 세웠던 항등식에 대입해 볼게요.

$(x - 2) (3 x + b) - x^{2} = (2 x + b) Q (x) + b$

좌변을 전개해서 정리해 봅시다.

$3 x^{2} + (b - 6) x - 2 b - x^{2} = 2 x^{2} + (b - 6) x - 3 b$

따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$2 x^{2} + (b - 6) x - 3 b = (2 x + b) Q (x)$

우변이 $2 x + b$ 를 인수로 가지고 있으니, 좌변도 $2 x + b$ 로 나누어떨어져야 해요. 좌변을 인수분해해 보면,

$2 x^{2} + (b - 6) x - 3 b = (2 x + b) (x - 3)$ 이 됩니다.

결국 $(2 x + b) (x - 3) = (2 x + b) Q (x)$ 가 되고, 문제에서 $P (x) - x = 2 x + b \neq 0$ 이라고 했으므로 양변을 나눌 수 있어요.

따라서 $Q (x) = x - 3$ 이 됩니다.

step4. $P (30)$ 계산

마지막으로 문제의 두 번째 조건을 사용할 차례예요.

' $P (x)$ 를 $Q (x)$ 로 나눈 나머지가 10이다'라고 했죠?

$Q (x) = x - 3$ 이므로, 나머지 정리에 의해 $P (3) = 10$ 이 됩니다.

우리가 구한 $P (x) = 3 x + b$ 에 $x = 3$ 을 대입해 볼게요.

$P (3) = 3 (3) + b = 9 + b = 10$

따라서 $b = 1$ 이 됩니다.

이제 $P (x)$ 가 완벽하게 구해졌어요.

$P (x) = 3 x + 1$

우리가 최종적으로 구해야 하는 값은 $P (30)$ 이므로,

$P (30) = 3 (30) + 1 = 91$ 이 됩니다.

step1. 나눗셈 관계식과 차수 조건

$(x - 2) P (x) - x^{2} = {P (x) - x} Q (x) + P (x) - 3 x$

--- 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 작아야 하므로

$\deg (P (x) - 3 x) < \deg (P (x) - x)$

step2. $P (x)$ 의 차수와 계수 결정

$\deg (P (x)) \geq 2$ 이면 $\deg (P (x) - 3 x) = \deg (P (x) - x)$ 이므로 모순.

따라서 $P (x)$ 는 1차 이하의 다항식.

$P (x) = a x + b$ 라 하면, $(a - 3) x + b$ 의 차수가 $(a - 1) x + b$ 의 차수보다 작아야 함.

$a - 3 = 0 ⟹ a = 3$

$∴ P (x) = 3 x + b$

step3. $Q (x)$ 구하기

$(x - 2) (3 x + b) - x^{2} = (2 x + b) Q (x) + b$

$2 x^{2} + (b - 6) x - 3 b = (2 x + b) Q (x)$

$(2 x + b) (x - 3) = (2 x + b) Q (x)$

$∴ Q (x) = x - 3$

step4. $P (30)$ 계산

--- $P (x)$ 를 $Q (x)$ 로 나눈 나머지가 10이므로

$P (3) = 10$

$3 (3) + b = 10 ⟹ b = 1$

$P (x) = 3 x + 1$

$∴ P (30) = 91$

🔒 막힌 이유

다항식의 나눗셈 관계식을 세운 후, $P (x)$ 가 몇 차식인지 알 수 없어 막막함을 느낄 수 있어요.
$P (x)$ 가 1차식임을 가정하더라도, $x$ 의 계수를 어떻게 구해야 할지 몰라 식 전개에서 길을 잃기 쉬워요.

🔑 돌파구

다항식의 나눗셈에서 가장 중요한 성질인 '나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 작다'는 점을 떠올려야 해요.
$P (x) = a x + b$ 로 두고, $P (x) - x$ 와 $P (x) - 3 x$ 의 차수를 직접 비교하여 $a$ 의 값을 확정지어 보세요.
(확장 팁: 다항식을 다항식으로 나누는 문제에서 차수를 모를 때는 항상 '나머지의 차수 < 나누는 식의 차수' 조건을 먼저 확인하세요!)

2023년 9월 학력평가 고1 수학 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 다항식의 나눗셈 / 나머지 정리 / 항등식
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구