수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 이차함수의 꼭짓점 구하기

먼저 이차함수 $y=x^2-4x+a$의 꼭짓점을 구해볼게요.

식을 완전제곱식으로 만들기 위해 $x$의 계수인 $-4$의 절반의 제곱, 즉 $4$를 더하고 빼줍니다.

$y=(x^2-4x+4)-4+a$

$y=(x-2{)}^2+a-4$

따라서 이 이차함수의 꼭짓점 $A$의 좌표는 $(2,a-4)$가 됩니다.

step2. 원의 중심 구하기

다음으로 원 $x^2+y^2+bx+4y-17=0$의 중심을 구해볼게요.

$x$는 $x$끼리, $y$는 $y$끼리 모아서 완전제곱식을 만들어 줍니다.

$x^2+bx+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+y^2+4y+4-4-17=0$

${(x+\frac{b}{2})}^2+(y+2{)}^2=21+\frac{b^2}{4}$

여기서 중심의 좌표를 읽을 때 괄호 안의 부호를 반대로 읽어야 한다는 점을 놓치기 쉬워요.

따라서 원의 중심의 좌표는 $(-\frac{b}{2},-2)$가 됩니다.

step3. $a+b$의 값 계산하기

문제에서 꼭짓점 $A$와 원의 중심이 일치한다고 했어요.

두 점이 일치하려면 $x$좌표는 $x$좌표끼리, $y$좌표는 $y$좌표끼리 같아야 해요.

$x$좌표를 비교하면: $2=-\frac{b}{2}$ 이므로 $b=-4$가 됩니다.

$y$좌표를 비교하면: $a-4=-2$ 이므로 $a=2$가 됩니다.

우리가 구하고 싶은 값은 $a+b$이므로,

$a+b=2+(-4)=-2$가 됩니다.

step1. 이차함수의 꼭짓점 구하기

$y=x^2-4x+a=(x-2{)}^2+a-4$

꼭짓점 $A(2,a-4)$

step2. 원의 중심 구하기

$x^2+bx+y^2+4y-17=0$

$(x+\frac{b}{2}{)}^2+(y+2{)}^2=17+\frac{b^2}{4}+4$

중심 $(-\frac{b}{2},-2)$

step3. $a+b$의 값 계산하기

--- 두 점이 일치하므로

$2=-\frac{b}{2}⟹b=-4$

$a-4=-2⟹a=2$

$\therefore a+b=2+(-4)=-2$