수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 접선의 방정식 구하기

먼저 첫 번째 원 $x^2+y^2=25$ 위의 점 $(3,-4)$에서의 접선의 방정식을 구해볼게요. 원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식은 $x_{1}x+y_{1}y=r^2$이라는 공식을 이용하면 아주 간단해요. 공식에 $x_1=3$, $y_1=-4$, $r^2=25$를 대입하면 $3x-4y=25$가 됩니다. 다음 단계를 위해 이 식을 한쪽으로 넘겨서 일반형인 $3x-4y-25=0$으로 정리해 둘게요.

step2. 점과 직선 사이의 거리 구하기

이제 이 접선이 두 번째 원 $(x-6{)}^2+(y-8{)}^2=r^2$과 만나야 해요. 원과 직선이 만나는지 확인하려면, 원의 중심에서 직선까지의 거리 $d$를 구해야 합니다. 두 번째 원의 중심은 $(6,8)$이죠. 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓸 때는 반드시 직선의 방정식을 $ax+by+c=0$ 꼴로 만들어야 한다는 점을 잊지 마세요! 중심 $(6,8)$과 직선 $3x-4y-25=0$ 사이의 거리 $d$를 계산해 보면, $d=\frac{|3·6-4·8-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|18-32-25|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-39|}{5}=7.8$이 됩니다.

step3. 만날 조건과 자연수 r의 최솟값 구하기

마지막으로 원과 직선이 만날 조건을 적용해 보아요. 원의 중심에서 직선까지의 거리 $d$가 원의 반지름 $r$보다 작거나 같아야 교점이 생깁니다. 즉, $d\le r$ 이어야 하죠. 우리가 구한 값을 대입하면 $7.8\le r$이 됩니다. 문제에서 $r$은 자연수라고 했으므로, 7.8보다 크거나 같은 자연수 중 가장 작은 값은 8이 됩니다. 따라서 구하는 최솟값은 8이에요.

step1. 접선의 방정식

$3x-4y=25$

$3x-4y-25=0$

step2. 점과 직선 사이의 거리

원 $(x-6{)}^2+(y-8{)}^2=r^2$의 중심은 $(6,8)$

$d=\frac{|3(6)-4(8)-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}$

$d=\frac{|18-32-25|}{5}=\frac{|-39|}{5}=7.8$

step3. 만날 조건과 자연수 r의 최솟값 구하기

$d\le r$   --- 원과 직선이 만나므로

$7.8\le r$

$\therefore$ 최소 자연수 $r=8$