2023년 9월 학력평가 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]

18. 세 실수

a, b, c

에 대하여 삼차다항식

P (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

가 다음 조건을 만족시킨다.
(가)

x

에 대한 삼차방정식

P (x) = 0

은 한 실근과 서로 다른 두 허근을 갖고, 서로 다른 두 허근의 곱은 5이다.
(나)

x

에 대한 삼차방정식

P (3 x - 1) = 0

은 한 근 0과 서로 다른 두 허근을 갖고, 서로 다른 두 허근의 합은 2이다.

a + b + c

의 값은? [4점]
① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7

이 문제는 실계수 삼차방정식의 켤레근의 성질과 평행이동된 방정식의 근의 관계를 이용하여 다항식의 계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

P (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

(

a, b, c

는 실수)
-

x

에 대한 삼차방정식

P (x) = 0

은 한 실근과 서로 다른 두 허근을 가짐
-

P (x) = 0

의 서로 다른 두 허근의 곱은

5

x

에 대한 삼차방정식

P (3 x - 1) = 0

은 한 근

0

과 서로 다른 두 허근을 가짐
-

P (3 x - 1) = 0

의 서로 다른 두 허근의 합은

2

이 문제는 방정식의 근의 구조를 파악하고, 치환을 통해 새로운 방정식의 근을 원래 방정식의 근으로 표현하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $P (x) = 0$ 의 근을 미지수로 설정합니다.

step2. $P (3 x - 1) = 0$ 의 근을 step1에서 설정한 미지수로 표현합니다.

step3. 조건 (나)를 이용하여 $P (x) = 0$ 의 실근과 허근의 합을 구합니다.

step4. $P (x)$ 의 식을 완성하고 $a + b + c$ 의 값을 계산합니다.

- 실계수 방정식의 켤레근 : 계수가 모두 실수인 다항방정식에서 $p + q i$ 가 근이면, 그 켤레복소수인 $p - q i$ 도 반드시 근이 됩니다.

- 이차방정식의 작성 : 두 수 $α, β$ 를 근으로 하고 최고차항의 계수가 $1$ 인 이차방정식은 $x^{2} - (α + β) x + α β = 0$ 으로 세울 수 있습니다.

P (3 x - 1) = 0

의 근은 대체 어떻게 구하지?"라는 생각이 들 수 있어요.

P (네모) = 0

이 되려면 '네모' 자리에 원래 방정식

P (x) = 0

의 근이 들어가야 한다는 점을 떠올려보세요! 원래 근을 알면 새로운 근도 쉽게 찾을 수 있답니다.

step1. $P (x) = 0$ 의 근 설정하기

먼저 $P (x) = 0$ 의 근을 문자로 놓아볼게요.

다항식 $P (x)$ 의 계수 $a, b, c$ 가 모두 실수이므로, 허근을 가진다면 반드시 켤레복소수 쌍으로 가져야 해요.

따라서 $P (x) = 0$ 의 한 실근을 $α$ , 두 허근을 $z$ 와 $\bar{z}$ 라고 설정할 수 있어요.

조건 (가)에서 두 허근의 곱이 $5$ 라고 했으니, $z \bar{z} = 5$ 라는 식을 하나 얻을 수 있습니다.

step2. $P (3 x - 1) = 0$ 의 근 표현하기

이제 $P (3 x - 1) = 0$ 의 근을 찾아볼 차례예요.

$P (X) = 0$ 이 성립하려면 괄호 안의 $X$ 가 원래 방정식의 근인 $α, z, \bar{z}$ 가 되어야 한다는 것이 포인트입니다.

즉, $3 x - 1 = α$ 또는 $3 x - 1 = z$ 또는 $3 x - 1 = \bar{z}$ 가 되어야 해요.

이 식들을 $x$ 에 대해 정리하면,

$x = \frac{α + 1}{3}, \frac{z + 1}{3}, \frac{\bar{z} + 1}{3}$

이렇게 세 개가 바로 $P (3 x - 1) = 0$ 의 근이 됩니다.

step3. 조건 (나)를 이용하여 원래 근 찾기

조건 (나)를 보면 $P (3 x - 1) = 0$ 의 한 근이 $0$ 이라고 했어요.

우리가 step2에서 구한 세 근 중에서 누가 $0$ 이 될 수 있을까요?

$z$ 와 $\bar{z}$ 는 허수이므로, $\frac{z + 1}{3}$ 과 $\frac{\bar{z} + 1}{3}$ 도 당연히 허수예요.

따라서 유일한 실근인 $\frac{α + 1}{3}$ 이 $0$ 이 되어야만 합니다.

$\frac{α + 1}{3} = 0 ⟹ α = - 1$

$P (3 x - 1) = 0$ 의 근이 $0$ 이라고 해서 원래 근 $α = 0$ 이라고 착각하기 쉽습니다. $x = 0$ 을 대입했을 때 괄호 안의 값인 $- 1$ 이 원래 방정식의 근이 되는 거예요!

또한, 조건 (나)에서 두 허근의 합이 $2$ 라고 했어요.

$\frac{z + 1}{3} + \frac{\bar{z} + 1}{3} = 2$

양변에 $3$ 을 곱하고 정리해볼까요?

$z + \bar{z} + 2 = 6 ⟹ z + \bar{z} = 4$

이제 원래 방정식의 두 허근의 합( $4$ )과 곱( $5$ )을 모두 알아냈습니다!

step4. $P (x)$ 완성 및 $a + b + c$ 계산하기

두 허근 $z, \bar{z}$ 를 근으로 갖는 이차방정식은 합이 $4$ , 곱이 $5$ 이므로 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 이 됩니다.

그리고 실근이 $α = - 1$ 이므로, $P (x)$ 는 다음과 같이 인수분해된 형태로 쓸 수 있어요.

$P (x) = (x + 1) (x^{2} - 4 x + 5)$

우리가 구해야 하는 것은 $a + b + c$ 의 값이죠.

$P (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 에 $x = 1$ 을 대입해보면,

$P (1) = 1 + a + b + c$ 가 됩니다.

따라서 $a + b + c = P (1) - 1$ 로 쉽게 구할 수 있어요.

위에서 찾은 $P (x)$ 식에 $x = 1$ 을 대입하면,

$P (1) = (1 + 1) (1^{2} - 4 \cdot 1 + 5) = 2 \times 2 = 4$

최종적으로 $a + b + c = 4 - 1 = 3$ 이 됩니다.

step1. $P (x) = 0$ 의 근 설정

$P (x) = 0$ 의 근을 $α$ (실수), $z, \bar{z}$ (허수)라 하자.

$z \bar{z} = 5$

step2. $P (3 x - 1) = 0$ 의 근 표현

$3 x - 1 = α, z, \bar{z}$

$x = \frac{α + 1}{3}, \frac{z + 1}{3}, \frac{\bar{z} + 1}{3}$

step3. 조건 (나) 적용

--- 실근이 0이므로

$\frac{α + 1}{3} = 0 ⟹ α = - 1$

--- 두 허근의 합이 2이므로

$\frac{z + 1}{3} + \frac{\bar{z} + 1}{3} = 2$

$z + \bar{z} + 2 = 6 ⟹ z + \bar{z} = 4$

step4. $P (x)$ 완성 및 계산

$P (x) = (x + 1) (x^{2} - 4 x + 5)$

$P (1) = 1 + a + b + c = 2 \times 2 = 4$

$∴ a + b + c = 3$

🔒 막힌 이유

$P (3 x - 1) = 0$ 의 근을 $P (x) = 0$ 의 근으로 표현하는 합성함수 형태의 방정식 풀이에서 헷갈려 식을 세우지 못할 수 있습니다.
$P (1) = 1 + a + b + c$ 라는 식의 값의 의미를 파악하지 못하고, $P (x)$ 를 일일이 전개하여 계수를 구하려다 계산 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

$P (x) = 0$ 의 근을 $α$ 라고 할 때, $P (3 x - 1) = 0$ 이 성립하려면 괄호 안의 값인 $3 x - 1 = α$ 가 되어야 함을 이용해 $x$ 를 구해보세요.
다항식에서 모든 계수의 합을 구할 때는 $x = 1$ 을 대입한 $P (1)$ 의 값을 활용하면 훨씬 빠르고 정확합니다.
(확장 팁: $f (a x + b) = 0$ 의 근은 $a x + b = (원래 근)$ 으로 두고 $x$ 에 대해 정리한다!)

2023년 9월 학력평가 고1 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 다항식 / 방정식의 근 / 복소수
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구