2023년 9월 학력평가 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]

20. 좌표평면 위에 세 점

A (0, 4)

B (4, 4)

C (4, 0)

이 있다. 세 선분

O A

A B

B C

를

m : n

(

m > 0

n > 0

)으로 내분하는 점을 각각

P

Q

R

이라 하고, 세 점

P

Q

R

을 지나는 원을

C

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,

O

는 원점이다.) [4점]

<보기>
ㄱ.

m = n

일 때, 점

P

의 좌표는

(0, 2)

이다.
ㄴ. 점

(\frac{4 m}{m + n}, 0)

은 원

C

위의 점이다.
ㄷ. 원

C

가

x

축과 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리가

3

일 때,

\overset{―}{P Q} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}

이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이 문제는 내분점의 좌표를 구하고, 수직 조건을 이용하여 세 점을 지나는 원의 성질을 파악할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

A (0, 4)

B (4, 4)

C (4, 0)

O (0, 0)

- 선분

O A

A B

B C

를

m : n

(

m > 0

n > 0

)으로 내분하는 점

P, Q, R

- 세 점

P, Q, R

을 지나는 원

C

이 문제는 비율을 하나의 문자로 치환하여 좌표를 단순화하고, 직각 조건(기울기의 곱이 -1)을 이용하여 원의 성질을 파악하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $t = \frac{m}{m + n}$ 으로 치환하여 점 $P, Q, R$ 의 좌표를 구하고 보기 ㄱ을 확인합니다.

step2. 보기 ㄴ에서 주어진 점을 $S$ 라 하고, 기울기를 이용하여 네 점 $P, Q, R, S$ 가 한 원 위에 있음을 증명합니다.

step3. 원의 중심과 반지름을 구하여 원의 방정식을 세우고, $x$ 축과 만나는 두 점 사이의 거리를 식으로 나타냅니다.

step4. 주어진 거리 조건을 이용하여 $\overset{―}{P Q}$ 의 길이를 계산하고 보기 ㄷ을 확인합니다.

- 내분점 공식 : 선분 $A B$ 를 $m : n$ 으로 내분하는 점의 좌표를 구하는 공식입니다.

- 수직 조건 : 두 직선이 수직일 때 기울기의 곱은 -1이 됩니다.

- 원에 내접하는 사각형 : 마주보는 두 각의 크기의 합이 $180^{\circ}$ 이면 네 점은 한 원 위에 있습니다. 특히 직각이면 지름을 공유합니다.

문자가

m, n

두 개로 주어졌지만, 실제로는 비율이므로

\frac{m}{m + n}

을 하나의 문자

t

로 치환하면 식이 훨씬 간단해집니다. 또한, 세 점을 지나는 원의 방정식을 무작정 구하기보다는, 선분들의 기울기를 구해 직각이 숨어있는지 확인하는 것이 핵심입니다.

step1. 좌표 설정 및 보기 ㄱ 확인

문제에서 주어진 비율 $\frac{m}{m + n}$ 을 $t$ 라고 치환해 볼게요. $m, n$ 이 모두 양수이므로 $0 < t < 1$ 이 됩니다.

이제 내분점 공식을 이용하여 $P, Q, R$ 의 좌표를 $t$ 로 표현해 봅시다.

- 점 $P$ 는 $O (0, 0)$ 와 $A (0, 4)$ 를 $m : n$ 으로 내분하므로 $P (0, 4 t)$ 가 됩니다.

- 점 $Q$ 는 $A (0, 4)$ 와 $B (4, 4)$ 를 $m : n$ 으로 내분하므로 $Q (4 t, 4)$ 가 됩니다.

- 점 $R$ 은 $B (4, 4)$ 와 $C (4, 0)$ 을 $m : n$ 으로 내분합니다. 여기서 내분점 공식을 적용할 때 시작점과 끝점의 순서를 헷갈리기 쉽습니다. $y$ 좌표는 $4$ 에서 $0$ 으로 가므로 $\frac{m \cdot 0 + n \cdot 4}{m + n} = 4 (1 - t) = 4 - 4 t$ 가 되어 $R (4, 4 - 4 t)$ 가 됩니다.

보기 ㄱ을 확인해 볼까요?

$m = n$ 이면 $t = \frac{1}{2}$ 이 됩니다.

점 $P$ 의 좌표에 대입하면 $P (0, 4 \times \frac{1}{2}) = (0, 2)$ 가 되므로 보기 ㄱ은 참입니다.

step2. 보기 ㄴ 확인 및 원의 성질 파악

보기 ㄴ에서 주어진 점 $(\frac{4 m}{m + n}, 0)$ 은 우리가 치환한 $t$ 를 사용하면 $(4 t, 0)$ 이 됩니다. 이 점을 $S$ 라고 부를게요.

네 점 $P, Q, R, S$ 가 한 원 위에 있는지 확인하기 위해 선분들의 기울기를 구해봅시다.

- 선분 $P Q$ 의 기울기: $\frac{4 - 4 t}{4 t - 0} = \frac{1 - t}{t}$

- 선분 $Q R$ 의 기울기: $\frac{(4 - 4 t) - 4}{4 - 4 t} = \frac{- 4 t}{4 (1 - t)} = \frac{- t}{1 - t}$

두 기울기를 곱하면 $\frac{1 - t}{t} \times \frac{- t}{1 - t} = - 1$ 이 됩니다. 즉, $∠ P Q R = 90^{\circ}$ 입니다.

마찬가지로 $S$ 와 연결된 선분들의 기울기도 구해볼게요.

- 선분 $P S$ 의 기울기: $\frac{0 - 4 t}{4 t - 0} = - 1$

- 선분 $R S$ 의 기울기: $\frac{0 - (4 - 4 t)}{4 t - 4} = \frac{4 t - 4}{4 t - 4} = 1$

두 기울기를 곱하면 $- 1 \times 1 = - 1$ 이 되어 $∠ P S R = 90^{\circ}$ 입니다.

마주보는 두 각이 모두 $90^{\circ}$ 이므로 사각형 $P Q R S$ 는 선분 $P R$ 을 지름으로 하는 원에 내접합니다.

따라서 점 $S$ 는 세 점 $P, Q, R$ 을 지나는 원 $C$ 위의 점이 맞습니다. 보기 ㄴ도 참이네요.

step3. 원의 방정식과 x축 교점 사이의 거리

원 $C$ 는 선분 $P R$ 을 지름으로 하므로, 원의 중심 $M$ 은 $P (0, 4 t)$ 와 $R (4, 4 - 4 t)$ 의 중점입니다.

$M (\frac{0 + 4}{2}, \frac{4 t + 4 - 4 t}{2}) = (2, 2)$ 가 됩니다.

반지름 $r$ 의 제곱은 중심 $M (2, 2)$ 와 점 $P (0, 4 t)$ 사이의 거리의 제곱이므로,

$r^{2} = (0 - 2)^{2} + (4 t - 2)^{2} = 4 + 4 (2 t - 1)^{2}$ 입니다.

따라서 원의 방정식은 $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4 + 4 (2 t - 1)^{2}$ 이 됩니다.

이 원이 $x$ 축과 만나는 점을 찾으려면 $y = 0$ 을 대입해야 합니다.

$(x - 2)^{2} + (0 - 2)^{2} = 4 + 4 (2 t - 1)^{2}$

$(x - 2)^{2} + 4 = 4 + 4 (2 t - 1)^{2}$

$(x - 2)^{2} = 4 (2 t - 1)^{2}$

제곱을 풀면 $x - 2 = \pm 2 (2 t - 1)$ 이 되어 $x = 2 \pm 2 (2 t - 1)$ 이 나옵니다.

두 점 사이의 거리는 큰 값에서 작은 값을 빼면 되므로, $| 4 (2 t - 1) | = 4 | 2 t - 1 |$ 이 됩니다.

step4. 보기 ㄷ 확인

문제에서 $x$ 축과 만나는 두 점 사이의 거리가 $3$ 이라고 했으므로,

$4 | 2 t - 1 | = 3$ 이 성립합니다.

양변을 제곱하면 $16 (2 t - 1)^{2} = 9$ 가 되고, $(2 t - 1)^{2} = \frac{9}{16}$ 입니다.

이를 전개하면 $4 t^{2} - 4 t + 1 = \frac{9}{16}$ 이므로, $4 t^{2} - 4 t = - \frac{7}{16}$ 이라는 식을 얻을 수 있습니다.

이제 우리가 구해야 할 $\overset{―}{P Q}$ 의 길이를 계산해 봅시다.

$P (0, 4 t)$ 와 $Q (4 t, 4)$ 사이의 거리의 제곱은

${\overset{―}{P Q}}^{2} = (4 t - 0)^{2} + (4 - 4 t)^{2} = 16 t^{2} + 16 (1 - t)^{2}$

$= 16 t^{2} + 16 (1 - 2 t + t^{2}) = 32 t^{2} - 32 t + 16$

$= 8 (4 t^{2} - 4 t) + 16$ 입니다.

앞서 구한 $4 t^{2} - 4 t = - \frac{7}{16}$ 을 대입하면,

${\overset{―}{P Q}}^{2} = 8 \times (- \frac{7}{16}) + 16 = - \frac{7}{2} + 16 = \frac{25}{2}$ 가 됩니다.

따라서 $\overset{―}{P Q} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ 입니다.

보기 ㄷ도 참이네요. 결국 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳은 설명입니다.

step1. 좌표 설정 및 보기 ㄱ 확인

$t = \frac{m}{m + n}$ 이라 하면 --- $0 < t < 1$

$P (0, 4 t)$ , $Q (4 t, 4)$ , $R (4, 4 - 4 t)$

$m = n$ 이면 $t = \frac{1}{2}$ 이므로 $P (0, 2)$ --- ㄱ 참

step2. 보기 ㄴ 확인 및 원의 성질 파악

$S (4 t, 0)$ 이라 하면

$m_{P Q} = \frac{4 - 4 t}{4 t} = \frac{1 - t}{t}$ , $m_{Q R} = \frac{- 4 t}{4 - 4 t} = \frac{- t}{1 - t}$

$m_{P Q} \times m_{Q R} = - 1 ⟹ ∠ P Q R = 90^{\circ}$

$m_{P S} = \frac{- 4 t}{4 t} = - 1$ , $m_{R S} = \frac{4 t - 4}{4 - 4 t} = 1$

$m_{P S} \times m_{R S} = - 1 ⟹ ∠ P S R = 90^{\circ}$

--- 마주보는 각이 $90^{\circ}$ 이므로 $P, Q, R, S$ 는 한 원 위의 점

--- ㄴ 참

step3. 원의 방정식과 x축 교점 사이의 거리

원 $C$ 는 $P R$ 을 지름으로 하는 원

중심 $M (2, 2)$ , $r^{2} = 2^{2} + (2 - 4 t)^{2} = 4 + 4 (1 - 2 t)^{2}$

$(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4 + 4 (1 - 2 t)^{2}$

$y = 0$ 대입: $(x - 2)^{2} = 4 (1 - 2 t)^{2}$

$x = 2 \pm 2 (1 - 2 t)$

두 점 사이의 거리 $d = 4 | 1 - 2 t |$

step4. 보기 ㄷ 확인

$4 | 1 - 2 t | = 3 ⟹ (1 - 2 t)^{2} = \frac{9}{16} ⟹ 4 t^{2} - 4 t = - \frac{7}{16}$

${\overset{―}{P Q}}^{2} = (4 t)^{2} + (4 - 4 t)^{2} = 32 t^{2} - 32 t + 16 = 8 (4 t^{2} - 4 t) + 16$

${\overset{―}{P Q}}^{2} = 8 (- \frac{7}{16}) + 16 = \frac{25}{2}$

$\overset{―}{P Q} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ --- ㄷ 참

$∴ ㄱ, ㄴ, ㄷ$

🔒 막힌 이유

문자 $m, n$ 을 그대로 사용하여 내분점의 좌표를 구하면 식이 매우 복잡해져 계산 실수를 하기 쉽습니다.
세 점 $P, Q, R$ 을 지나는 원의 방정식을 일반형 $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ 에 대입하여 직접 구하려고 하면 연산량이 감당할 수 없을 만큼 늘어납니다.

🔑 돌파구

비율 $\frac{m}{m + n}$ 을 하나의 문자 $t$ 로 치환하여 좌표를 단순하게 표현하세요.
원의 방정식을 직접 구하기 전에, 선분들의 기울기를 구해 직각( $90^{\circ}$ )이 숨어있는지 확인하여 원의 지름을 찾아내세요.
(팁: 원 위의 세 점이 주어졌을 때, 두 선분의 기울기의 곱이 -1이면 직각삼각형이 되어 빗변이 지름이 됩니다.)

2023년 9월 학력평가 고1 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 도형의 방정식 / 원의 방정식 / 내분점
난이도	상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구