수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 원의 중심에서 직선 $l$까지의 거리 구하기

원의 방정식이 $x^2+y^2=10$이므로 중심은 원점 O$(0,0)$이고 반지름의 길이는 $r=\sqrt{10}$입니다.

원의 중심 O에서 현 AB에 수선을 내리면 현을 수직이등분하므로, 직각삼각형을 만들어 피타고라스 정리를 적용할 수 있습니다.

현의 절반 길이는 $\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$입니다.

중심 O에서 직선 $l$까지의 거리를 $d$라고 하면,

$r^2=d^2+(\frac{\overline{AB}}{2}{)}^2$

$10=d^2+(\sqrt{5}{)}^2$

$10=d^2+5$

$d^2=5$

따라서 $d=\sqrt{5}$가 됩니다.

step2. 직선 $l$의 방정식 완성하기

직선 $l$은 기울기가 2이므로 방정식을 $y=2x+k$, 즉 $2x-y+k=0$으로 둘 수 있습니다.

원점 $(0,0)$에서 이 직선까지의 거리가 $\sqrt{5}$이므로 점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하면,

$d=\frac{|2(0)-0+k|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

$|k|=5$

따라서 $k=5$ 또는 $k=-5$입니다.

여기서 $k$의 값을 하나로 결정해야 합니다. 그림을 보면 직선 $l$은 $y$축과 양의 부분에서 만나고 있으므로 $y$절편인 $k$는 양수여야 합니다.

그러므로 $k=5$이고, 직선 $l$의 방정식은 $y=2x+5$가 됩니다.

step3. 점 A의 좌표 구하기

직선 $l$과 원이 만나는 점 A, B의 좌표를 구하기 위해 두 방정식을 연립합니다.

$y=2x+5$를 $x^2+y^2=10$에 대입하면,

$x^2+(2x+5{)}^2=10$

$x^2+4x^2+20x+25=10$

$5x^2+20x+15=0$

양변을 5로 나누면 $x^2+4x+3=0$

$(x+1)(x+3)=0$

따라서 $x=-1$ 또는 $x=-3$입니다.

점 A는 제2사분면 위의 점이므로 $x$좌표가 $-1$이어야 합니다. (만약 $x=-3$이면 $y=-1$이 되어 제3사분면의 점 B가 됩니다.)

$x=-1$을 $y=2x+5$에 대입하면 $y=3$입니다.

따라서 점 A의 좌표는 $(-1,3)$입니다.

step4. 점 C의 좌표 구하기

점 C는 직선 OA와 원이 만나는 점 중 A가 아닌 점입니다.

직선 OA는 원점을 지나는 직선이므로, 이 직선과 원의 두 교점 A와 C는 원점에 대하여 서로 대칭입니다.

따라서 점 A$(-1,3)$을 원점에 대하여 대칭이동하면 점 C의 좌표를 얻을 수 있습니다.

점 C의 좌표는 $(1,-3)$이 됩니다.

step5. 점 D의 좌표 구하기 및 최종 계산

점 C$(1,-3)$를 지나고 $x$축과 평행한 직선은 $y$좌표가 항상 $-3$이므로 직선의 방정식은 $y=-3$입니다.

점 D는 이 직선 $y=-3$과 직선 $l$($y=2x+5$)이 만나는 점입니다.

$y=-3$을 $y=2x+5$에 대입하여 $x$좌표를 구합니다.

$-3=2x+5$

$2x=-8$

$x=-4$

따라서 점 D의 좌표는 $(-4,-3)$이므로 $a=-4,b=-3$입니다.

최종적으로 $a+b=-4+(-3)=-7$입니다.

step1. 원의 중심에서 직선 $l$까지의 거리 구하기

원 $x^2+y^2=10$의 중심 $(0,0)$, 반지름 $r=\sqrt{10}$

중심에서 직선 $l$까지의 거리 $d$라 하면

$d^2+(\frac{2\sqrt{5}}{2}{)}^2=(\sqrt{10}{)}^2$

$d^2+5=10\Rightarrow d=\sqrt{5}$

step2. 직선 $l$의 방정식 완성하기

$l:2x-y+k=0$   --- $k>0$

$\frac{|k|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{5}$

$|k|=5\Rightarrow k=5$

$\therefore l:y=2x+5$

step3. 점 A의 좌표 구하기

$x^2+(2x+5{)}^2=10$

$5x^2+20x+15=0\Rightarrow x^2+4x+3=0$

$(x+1)(x+3)=0\Rightarrow x=-1$ 또는 $x=-3$

A는 제2사분면 점이므로 $x=-1,y=3$

$\therefore A(-1,3)$

step4. 점 C의 좌표 구하기

C는 A의 원점 대칭점

$\therefore C(1,-3)$

step5. 점 D의 좌표 구하기 및 최종 계산

C를 지나고 $x$축에 평행한 직선: $y=-3$

$l$과의 교점 D: $-3=2x+5\Rightarrow 2x=-8\Rightarrow x=-4$

$\therefore D(-4,-3)$

$a=-4,b=-3$

$\therefore a+b=-7$