2023년 9월 학력평가 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]

17. 그림과 같이

∠ A = ∠ B = 90^{\circ}

\overset{―}{A B} = 4

\overset{―}{B C} = 8

인 사다리꼴

A B C D

에 대하여 선분

A D

를

2 : 1

로 내분하는 점을

P

라 하자. 두 직선

A C

B P

가 점

Q

에서 서로 수직으로 만날 때, 삼각형

A Q D

의 넓이는? [4점]
①

\frac{6}{5}

②

\frac{13}{10}

③

\frac{7}{5}

④

\frac{3}{2}

⑤

\frac{8}{5}

이 문제는 직각이 포함된 도형을 좌표평면에 나타내어, 두 직선의 수직 조건과 내분점 공식을 통해 교점의 좌표와 삼각형의 넓이를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

- 사다리꼴

A B C D

∠ A = ∠ B = 90^{\circ}

\overset{―}{A B} = 4

\overset{―}{B C} = 8

- 점

P

는 선분

A D

를

2 : 1

로 내분
- 두 직선

A C

B P

가 점

Q

에서 서로 수직으로 만남

이 문제는 좌표평면을 도입하여 도형을 해석하는 해석기하 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 점 $B$ 를 원점으로 하여 각 꼭짓점의 좌표를 설정합니다.

step2. 내분점 공식을 이용하여 점 $P$ 의 좌표를 미지수로 표현합니다.

step3. 두 직선이 수직이라는 조건을 이용하여 미지수를 구하고 점 $D$ 와 $P$ 의 좌표를 완성합니다.

step4. 두 직선의 방정식을 세워 교점 $Q$ 의 좌표를 구합니다.

step5. 밑변과 높이를 구하여 삼각형 $A Q D$ 의 넓이를 계산합니다.

- 좌표평면의 도입 : 직각이 포함된 도형은 직각을 낀 꼭짓점을 원점으로 두면 각 점의 좌표 설정이 매우 용이해집니다.

- 선분의 내분점 : 수직선 위에서 두 점 $x_{1}, x_{2}$ 를 $m : n$ 으로 내분하는 점의 좌표는 $\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}$ 입니다.

- 두 직선의 수직 조건 : 두 직선의 기울기를 각각 $m, m^{'}$ 이라 할 때, 두 직선이 수직으로 만나면 $m \times m^{'} = - 1$ 이 성립합니다.

도형 문제에서 직각이 주어지고 길이나 넓이를 구하라고 할 때, 순수 기하(닮음 등)로 풀 수도 있지만, 직각을 낀 점을 원점으로 삼아 좌표평면에 도형을 올리면 복잡한 보조선 없이도 계산만으로 답을 낼 수 있습니다. 이 문제도

∠ B = 90^{\circ}

이므로 점

B

를 원점으로 두는 생각부터 시작해 보세요.

step1. 좌표평면 도입 및 꼭짓점 좌표 설정

점 $B$ 를 원점 $(0, 0)$ 으로 둡니다.

$∠ B = 90^{\circ}$ 이고 $\overset{―}{A B} = 4, \overset{―}{B C} = 8$ 이므로,

점 $A$ 의 좌표는 $(0, 4)$ , 점 $C$ 의 좌표는 $(8, 0)$ 이 됩니다.

사다리꼴에서 $∠ A = ∠ B = 90^{\circ}$ 이므로 선분 $A D$ 와 $B C$ 는 평행합니다.

따라서 점 $D$ 의 $y$ 좌표는 점 $A$ 와 같은 $4$ 입니다.

점 $D$ 의 $x$ 좌표를 $a$ ( $a > 0$ )라고 하면, $D (a, 4)$ 로 둘 수 있습니다.

step2. 점 $P$ 의 좌표 구하기

점 $P$ 는 선분 $A D$ 를 $2 : 1$ 로 내분하는 점입니다.

점 $A (0, 4)$ 와 점 $D (a, 4)$ 의 $y$ 좌표가 같으므로 $x$ 좌표만 내분하면 됩니다.

$x$ 좌표: $\frac{2 \times a + 1 \times 0}{2 + 1} = \frac{2 a}{3}$

따라서 점 $P$ 의 좌표는 $(\frac{2 a}{3}, 4)$ 입니다.

내분점 공식을 적용할 때 비율 $2 : 1$ 과 점 $A, D$ 의 순서를 헷갈리지 않도록 주의하세요.

step3. 수직 조건을 이용하여 $a$ 구하기

직선 $A C$ 와 직선 $B P$ 가 서로 수직이라고 했습니다.

좌표평면에서 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 -1입니다.

직선 $A C$ 의 기울기: $\frac{0 - 4}{8 - 0} = - \frac{1}{2}$

직선 $B P$ 의 기울기: $\frac{4 - 0}{\frac{2 a}{3} - 0} = \frac{4}{\frac{2 a}{3}} = \frac{12}{2 a} = \frac{6}{a}$

두 기울기의 곱이 $- 1$ 이어야 하므로,

$(- \frac{1}{2}) \times \frac{6}{a} = - 1$

$- \frac{3}{a} = - 1 ⟹ a = 3$

따라서 점 $D$ 의 좌표는 $(3, 4)$ 가 되고, 선분 $A D$ 의 길이는 $3$ 입니다.

step4. 교점 $Q$ 의 좌표 구하기

이제 두 직선의 방정식을 세워 교점 $Q$ 를 찾습니다.

직선 $A C$ : $y$ 절편이 $4$ 이고 기울기가 $- \frac{1}{2}$ 이므로 $y = - \frac{1}{2} x + 4$

직선 $B P$ : 원점을 지나고 기울기가 $\frac{6}{3} = 2$ 이므로 $y = 2 x$

두 식을 연립합니다.

$2 x = - \frac{1}{2} x + 4$

양변에 $2$ 를 곱하면 $4 x = - x + 8$

$5 x = 8 ⟹ x = \frac{8}{5}$

$y = 2 \times \frac{8}{5} = \frac{16}{5}$

따라서 점 $Q$ 의 좌표는 $(\frac{8}{5}, \frac{16}{5})$ 입니다.

step5. 삼각형 $A Q D$ 의 넓이 구하기

삼각형 $A Q D$ 의 넓이를 구하기 위해 선분 $A D$ 를 밑변으로 봅니다.

밑변의 길이 $A D = 3$ 입니다.

높이는 점 $Q$ 에서 선분 $A D$ 에 내린 수선의 길이입니다.

선분 $A D$ 는 $y = 4$ 위에 있고, 점 $Q$ 의 $y$ 좌표는 $\frac{16}{5}$ 이므로,

높이 $h = 4 - \frac{16}{5} = \frac{20}{5} - \frac{16}{5} = \frac{4}{5}$ 입니다.

따라서 삼각형 $A Q D$ 의 넓이는

$\frac{1}{2} \times (밑변) \times (높이) = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$ 입니다.

step1. 좌표 설정

$B (0, 0)$ 으로 두면 $A (0, 4), C (8, 0)$

$A D ∥ B C$ 이므로 $D (a, 4)$ 로 설정

step2. 점 $P$ 의 좌표

$P$ 는 $A (0, 4)$ 와 $D (a, 4)$ 를 $2 : 1$ 로 내분

$P (\frac{2 a}{3}, 4)$

step3. 수직 조건으로 $a$ 구하기

$A C$ 기울기 $= \frac{- 4}{8} = - \frac{1}{2}$

$B P$ 기울기 $= \frac{4}{2 a / 3} = \frac{6}{a}$

$- \frac{1}{2} \times \frac{6}{a} = - 1$ --- $A C ⟂ B P$ 이므로

$a = 3$

$∴ D (3, 4), P (2, 4)$

step4. 교점 $Q$ 구하기

직선 $A C$ : $y = - \frac{1}{2} x + 4$

직선 $B P$ : $y = 2 x$

$2 x = - \frac{1}{2} x + 4 ⟹ \frac{5}{2} x = 4 ⟹ x = \frac{8}{5}$

$y = \frac{16}{5} ⟹ Q (\frac{8}{5}, \frac{16}{5})$

step5. 넓이 계산

밑변 $A D = 3$

높이 $h = 4 - \frac{16}{5} = \frac{4}{5}$

$△ A Q D = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$

$∴$ ①

🔒 막힌 이유

도형의 성질(닮음, 피타고라스 정리 등)만으로 접근하려다 보조선을 긋는 과정에서 복잡해져 길을 잃기 쉽습니다.
두 직선이 수직이라는 조건을 어떻게 수식으로 연결하여 미지수를 구할지 막막할 수 있습니다.

🔑 돌파구

직각이 많은 도형(직각사다리꼴 등)은 직각을 낀 꼭짓점을 원점으로 삼아 좌표평면에 올리면 기계적인 계산으로 쉽게 풀립니다.
좌표평면에서 두 직선이 수직이면 '기울기의 곱이 -1'이라는 성질을 이용하여 미지수를 구하는 방정식을 세워보세요.
(팁: 도형 문제에서 직각이 보이면 좌표평면 도입을 1순위로 고려해 보세요.)

2023년 9월 학력평가 고1 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 도형의 방정식 / 직선의 방정식 / 내분점
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구