수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 이차방정식이 실근을 가질 조건 확인

이차방정식이 실근을 가지려면 판별식 $D$가 0보다 크거나 같아야 해요. 서로 다른 두 실근($D>0$)뿐만 아니라 중근($D=0$)도 실근이므로 반드시 $D\ge 0$을 적용해야 합니다.

step2. 판별식을 이용한 부등식 세우기

주어진 방정식 $x^2+2ax+(a^2+4a-28)=0$에서 $x$의 계수가 $2a$로 짝수이므로, 계산을 간단히 하기 위해 짝수 판별식 $\frac{D}{4}$를 사용할게요.

$\frac{D}{4}=a^2-1·(a^2+4a-28)\ge 0$

상수항 $a^2+4a-28$ 전체를 뺄 때 괄호를 치지 않으면 부호 실수가 생기기 쉬우니 조심해야 해요.

step3. 부등식 풀이 및 자연수 $a$의 개수 구하기

식을 전개해서 정리해 볼까요?

$a^2-a^2-4a+28\ge 0$

$-4a+28\ge 0$

$4a\le 28$

양변을 4로 나누면 $a\le 7$이 됩니다.

문제에서 $a$는 자연수라고 했으므로, 7 이하의 자연수는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7입니다.

따라서 조건을 만족하는 자연수 $a$의 개수는 7개입니다.

step1. , 2. 판별식 적용

$\frac{D}{4}=a^2-(a^2+4a-28)\ge 0$   --- 실근을 가질 조건

step3. 부등식 풀이 및 개수 구하기

$-4a+28\ge 0$

$4a\le 28$

$a\le 7$

$a\in \{1,2,3,4,5,6,7\}$   --- $a$는 자연수이므로

$\therefore 7$