수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 선분 BC의 중점 M의 좌표 구하기

먼저 선분 $BC$의 중점을 $M$이라고 해볼게요. 삼각형의 무게중심 $G$는 꼭짓점 $A$와 대변의 중점 $M$을 연결한 중선을 $2:1$로 내분한다는 사실을 떠올리는 것이 첫 단추입니다.

점 $A(-5,-1)$이고 무게중심 $G(-1,1)$이므로, 내분점 공식을 사용해 $M(x,y)$의 좌표를 구할 수 있어요.

$x$좌표: $\frac{1·(-5)+2·x}{3}=-1⟹-5+2x=-3⟹2x=2⟹x=1$

$y$좌표: $\frac{1·(-1)+2·y}{3}=1⟹-1+2y=3⟹2y=4⟹y=2$

따라서 중점 $M$의 좌표는 $(1,2)$가 됩니다.

step2. 선분 BC의 길이 구하기

이제 밑변이 될 선분 $BC$의 길이를 구해볼까요? 문제에서 세 점 $A,B,C$를 지나는 원의 중심(외심)이 원점 $O(0,0)$이라고 했어요.

외심에서 꼭짓점까지의 거리는 외접원의 반지름 $R$과 같으므로, 점 $A$를 이용해 반지름을 구합니다.

$R=\overline{OA}=\sqrt{(-5{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{26}$

그리고 원의 중심 $O$에서 현 $BC$에 선을 그으면, 중점 $M$과 만나면서 현을 수직이등분하게 됩니다. 즉, $△OMC$는 직각삼각형이 되죠.

선분 $OM$의 길이는 $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$입니다.

피타고라스 정리를 이용해 절반의 길이인 $MC$를 구해보면,

$\overline{MC}=\sqrt{R^2-{\overline{OM}}^2}=\sqrt{26-5}=\sqrt{21}$이 됩니다.

여기서 $MC$의 길이를 구한 뒤, 이를 두 배 하는 것을 잊어버려 밑변의 길이를 틀리게 계산하기 쉬우니 조심하세요!

밑변의 길이 $\overline{BC}=2\times \overline{MC}=2\sqrt{21}$입니다.

step3. 직선 BC의 방정식 구하기

높이를 구하기 위해서는 직선 $BC$의 방정식이 필요해요. 앞서 원의 중심에서 현에 내린 선은 현과 수직이라고 했죠?

직선 $OM$의 기울기는 $\frac{2-0}{1-0}=2$입니다.

두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 $-1$이 되어야 하므로, 직선 $BC$의 기울기는 $-\frac{1}{2}$이 됩니다.

기울기가 $-\frac{1}{2}$이고 점 $M(1,2)$를 지나는 직선의 방정식을 세워볼게요.

$y-2=-\frac{1}{2}(x-1)$

양변에 $2$를 곱하고 정리하면,

$2y-4=-x+1⟹x+2y-5=0$이 됩니다.

step4. 삼각형 ABC의 높이 구하기

이제 점 $A(-5,-1)$에서 직선 $BC$($x+2y-5=0$)까지의 거리를 구하면 그것이 바로 삼각형의 높이 $h$가 됩니다.

점과 직선 사이의 거리 공식을 적용해 볼게요.

$h=\frac{|1·(-5)+2·(-1)-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|-5-2-5|}{\sqrt{5}}=\frac{|-12|}{\sqrt{5}}=\frac{12}{\sqrt{5}}$

유리화하지 않고 이대로 두어도 넓이를 계산할 때 편리합니다.

step5. 삼각형의 넓이 계산 및 정답 도출

마지막으로 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 계산해 봅시다.

$S=\frac{1}{2}\times \text{밑변}\times \text{높이}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{21}\times \frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{21}}{\sqrt{5}}$

분모와 분자에 $\sqrt{5}$를 곱하여 유리화하면,

$S=\frac{12\sqrt{105}}{5}$가 됩니다.

문제에서 넓이가 $\frac{q}{p}\sqrt{105}$라고 했고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이므로 $p=5$, $q=12$입니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 $p+q$의 값은 $5+12=17$입니다.

step1. 선분 BC의 중점 M의 좌표 구하기

$G(-1,1)$는 $AM$을 $2:1$ 내분

$M(\frac{3(-1)-(-5)}{2},\frac{3(1)-(-1)}{2})=(1,2)$

step2. 선분 BC의 길이 구하기

$R^2={\overline{OA}}^2=(-5{)}^2+(-1{)}^2=26$

${\overline{OM}}^2=1^2+2^2=5$

$\overline{MC}=\sqrt{26-5}=\sqrt{21}$

$\therefore \overline{BC}=2\sqrt{21}$

step3. 직선 BC의 방정식 구하기

$\overline{OM}$ 기울기 $=2$

직선 $BC$ 기울기 $=-\frac{1}{2}$   --- $\overline{OM}⟂\overline{BC}$이므로

$y-2=-\frac{1}{2}(x-1)⟹x+2y-5=0$

step4. 삼각형 ABC의 높이 구하기

$h=\frac{|-5-2-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{12}{\sqrt{5}}$

step5. 삼각형의 넓이 계산 및 정답 도출

$S=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{21}\times \frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{12}{5}\sqrt{105}$

$p=5,q=12⟹p+q=17$

$\therefore 17$