수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 이차함수 그래프와 판별식의 관계 파악하기

주어진 식을 이차함수 $y=x^2+(m+2)x+2m+1$로 생각해 볼게요.

이차항의 계수가 $1$로 양수이므로 그래프는 아래로 볼록한 포물선 모양입니다.

모든 실수 $x$에 대해 이 값이 $0$보다 크려면, 그래프 전체가 $x$축보다 위에 있어야 해요.

부등호가 $>$라고 해서 판별식 $D>0$이라고 착각하기 쉽습니다. $x$축과 만나지 않아야 하므로 실근이 없어야 하고, 따라서 $D<0$을 써야 합니다.

step2. 판별식을 이용해 $m$의 범위 구하기

이차방정식 $x^2+(m+2)x+2m+1=0$의 판별식을 $D$라고 할 때, $D<0$이어야 합니다.

$D=(m+2{)}^2-4·1·(2m+1)<0$

식을 전개해 볼까요?

$m^2+4m+4-8m-4<0$

동류항끼리 계산하면,

$m^2-4m<0$

인수분해하면 $m(m-4)<0$이 됩니다.

따라서 $m$의 범위는 $0<m<4$가 됩니다.

step3. 조건을 만족하는 정수 $m$의 합 구하기

우리가 구한 범위 $0<m<4$ 안에 있는 정수 $m$을 찾아볼게요.

해당하는 정수는 $1,2,3$입니다.

문제에서 모든 정수 $m$의 값의 합을 구하라고 했으므로,

$1+2+3=6$이 됩니다.

따라서 정답은 6을 나타내는 ④번입니다.

step1. 이차함수 그래프와 판별식의 관계 파악하기

$x^2+(m+2)x+2m+1>0$ 이 항상 성립하려면

$x$축과 만나지 않아야 하므로 $D<0$

step2. 판별식을 이용해 $m$의 범위 구하기

$D=(m+2{)}^2-4(2m+1)<0$

$m^2+4m+4-8m-4<0$

$m^2-4m<0$

$m(m-4)<0$

$0<m<4$

step3. 조건을 만족하는 정수 $m$의 합 구하기

정수 $m=1,2,3$

합 $=1+2+3=6$

$\therefore ④$