수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 직선 $l$의 방정식 구하기

직선 $l$은 $x$축과 $(6,0)$에서, $y$축과 $(0,3)$에서 만납니다.

$x$절편이 6, $y$절편이 3이므로 직선의 방정식은 다음과 같이 세울 수 있어요.

$\frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1$

점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하기 편하도록 일반형으로 바꿔볼게요. 양변에 6을 곱하여 정리하면,

$x+2y=6$

$x+2y-6=0$이 됩니다.

step2. 정사각형의 한 변의 길이 구하기

정사각형 $ABCD$의 넓이가 $\frac{81}{5}$라고 주어졌어요.

정사각형의 넓이는 $(\text{한 변의 길이}{)}^2$이므로, 한 변의 길이는 넓이의 양의 제곱근입니다.

$\text{한 변의 길이}=\sqrt{\frac{81}{5}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$

step3. 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 $a$ 구하기

사각형 $ABCD$가 정사각형이고 점 $B,C$가 직선 $l$ 위에 있으므로, 점 $A$에서 직선 $l$까지의 거리는 정사각형의 한 변의 길이와 같습니다.

점 $A(a,6)$에서 직선 $x+2y-6=0$까지의 거리를 공식으로 나타내면,

$\frac{|a+2·6-6|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|a+12-6|}{\sqrt{5}}=\frac{|a+6|}{\sqrt{5}}$

이 거리가 단계 2에서 구한 한 변의 길이 $\frac{9}{\sqrt{5}}$와 같아야 합니다.

$\frac{|a+6|}{\sqrt{5}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$

양변에 $\sqrt{5}$를 곱하면,

$|a+6|=9$

절댓값을 풀 때 양수와 음수 두 가지 경우를 모두 고려해야 합니다.

$a+6=9$ 또는 $a+6=-9$

$a=3$ 또는 $a=-15$

문제 조건에서 $a>0$이라고 했으므로, 최종적으로 $a=3$이 됩니다.

step1. 직선 $l$의 방정식 구하기

$x$절편 6, $y$절편 3이므로

$\frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1$

$x+2y-6=0$

step2. 정사각형의 한 변의 길이 구하기

넓이가 $\frac{81}{5}$이므로

$\text{한 변의 길이}=\sqrt{\frac{81}{5}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$

step3. 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 $a$ 구하기

--- 점 $A(a,6)$에서 직선 $l$까지의 거리가 한 변의 길이와 같으므로

$\frac{|a+2(6)-6|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$

$\frac{|a+6|}{\sqrt{5}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$

$|a+6|=9$

$a=3$ 또는 $a=-15$

$a>0$이므로 $a=3$

$\therefore ③$