2023년 9월 학력평가 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 일차방정식을 한 문자에 대해 정리한 후 이차방정식에 대입하여 푸는 대입법을 사용합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 일차방정식을 한 문자에 대해 정리합니다.

step2. 정리한 식을 이차방정식에 대입하여 한 문자에 대한 이차방정식을 만듭니다.

step3. 이차방정식을 풀어 $x$ 의 값을 구합니다.

step4. 구한 $x$ 의 값을 일차방정식에 대입하여 $y$ 의 값을 구하고, 최종적으로 $α - β$ 를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 대입법 : 연립방정식에서 한 방정식을 한 문자에 관하여 푼 다음, 다른 방정식에 대입하여 문자의 개수를 줄여서 푸는 방법입니다.

5. 구체적 풀이

일차방정식과 이차방정식이 함께 주어졌을 때는, 일차방정식을

y = \dots

또는

x = \dots

형태로 바꾸어 이차방정식에 대입하는 것이 가장 확실한 방법이에요. 여기서는

y

의 계수가

- 1

이므로

y

에 대해 정리하는 것이 분수 계산을 피할 수 있어 훨씬 편리합니다.

step1. 일차방정식 정리하기

주어진 일차방정식 $2 x - y = 1$ 을 $y$ 에 대하여 정리해 볼게요.

$y$ 를 우변으로, $1$ 을 좌변으로 이항하면

$y = 2 x - 1$ 이 됩니다.

일차방정식을 한 문자에 대해 정리할 때, 계수가 $1$ 이나 $- 1$ 인 문자를 기준으로 정리하면 분수가 생기지 않아 계산이 훨씬 수월해집니다.

step2. 이차방정식에 대입하기

이제 정리한 $y = 2 x - 1$ 을 이차방정식 $5 x^{2} - y^{2} = - 5$ 에 대입합니다.

$5 x^{2} - (2 x - 1)^{2} = - 5$

대입할 때는 반드시 괄호를 사용해야 합니다. 괄호 앞의 마이너스 부호 때문에 전개할 때 부호 실수가 자주 발생하니 조심하세요.

step3. 이차방정식 풀기

괄호를 전개하여 식을 간단히 해볼까요?

$(2 x - 1)^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1$ 이므로,

$5 x^{2} - (4 x^{2} - 4 x + 1) = - 5$

괄호를 풀면,

$5 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 1 = - 5$

동류항끼리 계산하면,

$x^{2} + 4 x - 1 = - 5$

우변의 $- 5$ 를 좌변으로 이항하면,

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

이 식은 완전제곱식으로 인수분해되네요!

$(x + 2)^{2} = 0$

따라서 $x = - 2$ 입니다.

step4. $y$ 의 값 구하기 및 최종 계산

구한 $x = - 2$ 를 step1에서 만든 $y = 2 x - 1$ 에 대입하여 $y$ 의 값을 구합니다.

$y = 2 (- 2) - 1 = - 4 - 1 = - 5$

문제에서 해를 $x = α, y = β$ 라고 했으므로, $α = - 2$ , $β = - 5$ 가 됩니다.

마지막으로 우리가 구해야 하는 값은 $α - β$ 이므로,

$α - β = - 2 - (- 5) = - 2 + 5 = 3$ 입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 일차방정식 정리하기

$2 x - y = 1$

$y = 2 x - 1$

step2. 이차방정식에 대입하기

$5 x^{2} - (2 x - 1)^{2} = - 5$

step3. 이차방정식 풀기

$5 x^{2} - (4 x^{2} - 4 x + 1) = - 5$

$x^{2} + 4 x - 1 = - 5$

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

$(x + 2)^{2} = 0$

$x = - 2$

step4. $y$ 의 값 구하기 및 최종 계산

$y = 2 (- 2) - 1 = - 5$ --- $y = 2 x - 1$ 에 대입

$α = - 2, β = - 5$

$α - β = - 2 - (- 5) = 3$

$∴ ③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

일차방정식을 이차방정식에 대입할 때, 괄호를 풀면서 부호를 잘못 계산하여 오답이 나올 수 있습니다.
완전제곱식을 전개할 때 $(2 x - 1)^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1$ 인데, 중간항 $- 4 x$ 를 빠뜨리거나 부호를 틀릴 수 있습니다.

🔑 돌파구

일차방정식을 한 문자에 대해 정리한 후, 이차방정식에 대입할 때 반드시 괄호를 치고 전개하여 부호 실수를 방지하세요.
완전제곱식 전개 공식을 정확히 적용하고, 동류항끼리 차분하게 계산하여 이차방정식을 풉니다.
(팁: 대입법은 연립이차방정식의 가장 기본적이고 강력한 풀이법입니다.)

2023년 9월 학력평가 고1 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 연립이차방정식
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구