수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 몫 설정하기

나누어지는 다항식 $x^3+a{x}^2+bx+3$은 3차식이고, 나누는 식 $(x+1{)}^2$은 2차식이에요.

따라서 몫은 1차식이 되어야 합니다.

최고차항인 $x^3$의 계수가 1이므로, 몫의 1차항은 $x$로 시작해야 해요.

그러므로 몫을 $x+c$ ($c$는 상수)라고 둘 수 있습니다.

step2. 항등식 세우기

나누어떨어진다는 것은 나머지가 0이라는 뜻이므로, 다음과 같이 항등식을 세울 수 있어요.

$x^3+a{x}^2+bx+3=(x+1{)}^2(x+c)$

step3. 계수 비교하여 $a,b$ 구하기

이제 우변을 전개해서 좌변과 비교해 볼까요?

먼저 $(x+1{)}^2$을 전개하면 $x^2+2x+1$이 됩니다.

우변: $(x^2+2x+1)(x+c)$

$=x^3+c{x}^2+2x^2+2cx+x+c$

$=x^3+(c+2)x^2+(2c+1)x+c$

이 식이 좌변인 $x^3+a{x}^2+bx+3$과 완전히 같아야 해요.

상수항부터 비교하면 $c$의 값을 바로 알아낼 수 있는데, 이를 놓치고 복잡하게 연립방정식을 풀려고 하면 실수가 나올 수 있어요.

상수항을 비교하면 $c=3$입니다.

이제 $c=3$을 대입하여 2차항과 1차항의 계수를 비교해 볼게요.

2차항 계수: $a=c+2=3+2=5$

1차항 계수: $b=2c+1=2(3)+1=7$

따라서 $a=5,b=7$입니다.

step4. 최종 답 계산하기

우리가 구해야 하는 값은 $a+b$이므로,

$a+b=5+7=12$가 됩니다.

step1. , 2. 몫 설정 및 항등식 세우기

$x^3+a{x}^2+bx+3=(x+1{)}^2(x+c)$   --- 몫을 1차식 $x+c$로 설정

step3. 계수 비교하여 $a,b$ 구하기

우변을 전개하면,

$(x^2+2x+1)(x+c)=x^3+(c+2)x^2+(2c+1)x+c$

양변의 계수를 비교하면,

상수항: $c=3$

2차항: $a=c+2=5$

1차항: $b=2c+1=7$

step4. 최종 답 계산하기

$a+b=5+7=12$

$\therefore 12$