2023년 9월 학력평가 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 직선의 평행 조건과 점을 지나는 조건을 순차적으로 적용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

step1. 주어진 직선의 방정식을 표준형으로 바꾸어 기울기를 구합니다.

step2. 평행 조건을 이용하여 $b$ 의 값을 구합니다.

step3. 직선이 점 $(1, a)$ 를 지난다는 조건을 이용하여 $a$ 의 값을 구합니다.

step4. $a \times b$ 의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 두 직선의 평행 조건 : 두 직선 $y = m x + n$ 과 $y = m^{'} x + n^{'}$ 이 평행하면 기울기가 같고 $y$ 절편은 다릅니다. 즉, $m = m^{'}, n \neq n^{'}$ 입니다.

- 도형이 점을 지날 조건 : 어떤 도형(직선 등)이 점 $(x_{1}, y_{1})$ 을 지나면, 도형의 방정식에 $x = x_{1}, y = y_{1}$ 을 대입했을 때 등식이 성립합니다.

5. 구체적 풀이

직선의 방정식 문제에서 '평행하다'는 말이 나오면 가장 먼저 '기울기가 같다'를 떠올려야 해요. 그리고 '어떤 점을 지난다'는 말이 나오면 '그 점의 좌표를 식에 대입한다'고 생각하면 됩니다. 이 두 가지 핵심 아이디어만 순서대로 적용하면 쉽게 풀 수 있어요.

step1. 주어진 직선의 기울기 구하기

먼저 기준이 되는 직선 $4 x - 2 y + 1 = 0$ 의 기울기를 알아볼까요? 직선의 방정식을 우리가 보기 편한 $y = m x + n$ 꼴로 바꾸어 볼게요.

$2 y = 4 x + 1$

양변을 2로 나누면,

$y = 2 x + \frac{1}{2}$

따라서 이 직선의 기울기는 $2$ 라는 것을 알 수 있어요.

step2. 평행 조건을 이용하여 $b$ 구하기

이제 우리가 구하려는 직선 $b x - y + 5 = 0$ 을 살펴볼게요. 이 식도 $y$ 에 대해 정리하면,

$y = b x + 5$ 가 됩니다.

두 직선이 평행하려면 기울기가 같아야 하므로, 앞서 구한 기울기 $2$ 와 이 직선의 기울기 $b$ 가 같아야 해요.

따라서 $b = 2$ 입니다.

이제 우리가 찾는 직선의 방정식은 $2 x - y + 5 = 0$ (또는 $y = 2 x + 5$ )로 완성되었어요.

step3. 점을 지나는 조건을 이용하여 $a$ 구하기

문제에서 이 직선이 점 $(1, a)$ 를 지난다고 했어요.

직선이 어떤 점을 지난다고 할 때, $x$ 와 $y$ 의 자리를 헷갈려 대입하면 안 돼요. $x$ 자리에 $1$ 을, $y$ 자리에 $a$ 를 대입해야 합니다.

완성된 직선의 방정식 $y = 2 x + 5$ 에 $x = 1, y = a$ 를 대입해 볼게요.

$a = 2 \times 1 + 5$

$a = 7$

이렇게 해서 $a$ 의 값도 구했습니다.

step4. 최종 정답 계산하기

문제에서 요구한 것은 $a \times b$ 의 값이에요.

우리가 구한 $a = 7$ 과 $b = 2$ 를 곱해주면 됩니다.

$a \times b = 7 \times 2 = 14$

따라서 정답은 14입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 주어진 직선의 기울기 구하기

$4 x - 2 y + 1 = 0 \Rightarrow y = 2 x + \frac{1}{2}$

--- 기울기는 2이므로

step2. 평행 조건을 이용하여 $b$ 구하기

$b x - y + 5 = 0 \Rightarrow y = b x + 5$

$b = 2$

step3. 점을 지나는 조건을 이용하여 $a$ 구하기

$y = 2 x + 5$ 에 $(1, a)$ 대입

$a = 2 (1) + 5 = 7$

step4. 최종 정답 계산하기

$∴ a \times b = 7 \times 2 = 14$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

직선의 방정식이 일반형( $A x + B y + C = 0$ )으로 주어졌을 때 기울기를 바로 찾지 못하거나, 평행 조건이 기울기가 같다는 것임을 잊어버릴 수 있습니다.
직선이 어떤 점을 지난다는 조건이 주어졌을 때, 그 점의 좌표를 직선의 방정식에 대입해야 한다는 사실을 놓칠 수 있습니다.

🔑 돌파구

직선의 방정식을 $y = m x + n$ 꼴(표준형)로 바꾸어 $x$ 의 계수인 기울기 $m$ 을 확인하세요. 평행한 두 직선은 기울기가 같습니다.
직선이 점을 지난다는 것은 그 점의 좌표를 식에 대입했을 때 등식이 성립한다는 뜻이므로, $x, y$ 자리에 점의 좌표를 대입하여 미지수를 구하세요.
(팁: 직선의 방정식 문제에서 '평행'은 기울기, '지난다'는 대입을 의미합니다.)

2023년 9월 학력평가 고1 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 도형의 방정식 / 직선의 방정식 / 평행 조건
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구