수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 방정식의 근의 조건 해석하기

주어진 방정식 $\{x-f(k)\}\{x-g(k)\}=0$을 살펴볼까요?

이 방정식의 해는 괄호 안이 0이 되는 값, 즉 $x=f(k)$ 또는 $x=g(k)$입니다.

문제에서 이 방정식의 서로 다른 두 실근이 딱 0과 4뿐이라고 했어요.

이 말은 $k$가 0과 4라는 뜻이 아니라, 해인 $f(k)$와 $g(k)$의 값이 0과 4가 되어야 한다는 뜻으로 착각하기 쉬우니 조심해야 해요.

따라서 어떤 실수 $k$를 대입했을 때, 다음 두 가지 경우 중 하나가 성립해야 합니다.

첫째, $f(k)=0$ 이고 $g(k)=4$

둘째, $f(k)=4$ 이고 $g(k)=0$

결국 우리가 찾는 $k$는 $f(x)$와 $g(x)$의 함숫값이 각각 0과 4가 되도록 짝지어지는 $x$의 값들입니다.

step2. 실수 $k$의 개수가 3개일 조건 추론하기

위 조건을 만족하는 $k$의 개수가 총 3개라고 합니다.

이차함수의 그래프를 떠올려 보세요. 이차함수 $y=f(x)$가 $y=0$이나 $y=4$와 만나는 교점은 각각 최대 2개입니다.

만약 $f(x)=0$을 만족하는 $k$가 2개, $g(x)=0$을 만족하는 $k$가 2개라면 총 4개의 $k$가 나올 수 있겠죠.

그런데 총 개수가 3개라는 것은 무슨 의미일까요?

바로 두 이차함수 중 하나는 $x$축($y=0$)과 한 점에서만 만난다, 즉 꼭짓점이 $x$축에 접하는 중근을 가진다는 뜻입니다.

따라서 다음 두 가지 케이스로 나누어 생각해 볼 수 있습니다.

Case 1: $f(x)=0$이 중근을 갖고, $g(x)=0$이 서로 다른 두 근을 가질 때

Case 2: $g(x)=0$이 중근을 갖고, $f(x)=0$이 서로 다른 두 근을 가질 때

step3. 두 가지 케이스 나누어 모순 찾기

먼저 Case 1을 확인해 볼게요.

$f(x)=0$이 중근 $\alpha$를 가진다고 해봅시다. 이때 짝꿍인 $g(x)$는 $g(\alpha )=4$가 되어야 합니다.

그리고 $g(x)=0$이 두 근 ${\beta }_1,{\beta }_2$를 가진다면, 짝꿍인 $f(x)$는 $f({\beta }_1)=4,f({\beta }_2)=4$가 됩니다.

$f(x)$는 $x=\alpha$에서 중근을 가지므로 대칭축이 $x=\alpha$입니다. $f(x)$의 함숫값이 4로 같은 두 점 ${\beta }_1,{\beta }_2$는 대칭축 $\alpha$를 기준으로 좌우 대칭이어야 하죠.

그런데 $g(x)$ 역시 두 근이 ${\beta }_1,{\beta }_2$이므로 대칭축이 똑같이 $x=\alpha$가 됩니다.

문제에서 $g(x)$는 이차항의 계수가 1(양수)이라고 했어요. 아래로 볼록한 그래프인데, 대칭축인 $x=\alpha$에서의 함숫값(꼭짓점)이 $g(\alpha )=4$로 양수입니다.

꼭짓점이 $x$축보다 위에 있는데 어떻게 $g(x)=0$이라는 두 실근을 가질 수 있을까요? 여기서 모순이 발생합니다. 따라서 Case 1은 탈락입니다.

이제 Case 2를 볼까요.

$g(x)=0$이 중근 $\beta$를 가진다고 해봅시다. 이차항 계수가 1이므로 식은 $g(x)=(x-\beta {)}^2$이 됩니다. 이때 짝꿍인 $f(\beta )=4$입니다.

$f(x)=0$이 두 근 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$를 가진다면, $g({\alpha }_1)=4,g({\alpha }_2)=4$가 되어야 합니다.

$g(x)=4$를 풀어보면 $(x-\beta {)}^2=4$ 이므로 $x-\beta =\pm 2$, 즉 $x=\beta -2$ 또는 $x=\beta +2$가 됩니다.

이 두 값이 바로 $f(x)=0$의 두 근 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$입니다.

$f(x)$는 두 근이 $\beta -2,\beta +2$이므로 대칭축이 $x=\beta$이고, 꼭짓점이 $(\beta ,4)$인 이차함수입니다.

식을 $f(x)=a(x-\beta {)}^2+4$로 두고, 근인 $x=\beta -2$를 대입하면 $a(-2{)}^2+4=0$에서 $4a=-4$, 즉 $a=-1$이 됩니다.

따라서 $f(x)=-(x-\beta {)}^2+4$가 되며, 위로 볼록한 그래프이므로 아무런 모순이 없습니다!

step4. 함수식 완성하고 정답 구하기

이제 $\beta$의 값만 찾으면 됩니다.

문제의 마지막 조건인 $f(2)=4$를 이용해 볼까요?

우리가 찾은 식 $f(x)=-(x-\beta {)}^2+4$에 $x=2$를 대입합니다.

$f(2)=-(2-\beta {)}^2+4=4$

$-(2-\beta {)}^2=0$ 이 되므로, $\beta =2$임을 알 수 있습니다.

이제 두 이차함수의 식이 완벽하게 구해졌습니다.

$f(x)=-(x-2{)}^2+4$

$g(x)=(x-2{)}^2$

마지막으로 문제에서 요구한 $g(8)-f(8)$의 값을 계산해 봅시다.

$g(8)=(8-2{)}^2=6^2=36$

$f(8)=-(8-2{)}^2+4=-36+4=-32$

따라서 $g(8)-f(8)=36-(-32)=36+32=68$이 됩니다.

step1. 방정식의 근의 조건 해석하기

$\{x-f(k)\}\{x-g(k)\}=0$ 의 근이 $0,4$이므로

$\{f(k),g(k)\}=\{0,4\}$

step2. 실수 $k$의 개수가 3개일 조건 추론하기

$f(k)=0,g(k)=4$ 인 $k$의 집합을 $A$,

$f(k)=4,g(k)=0$ 인 $k$의 집합을 $B$라 하면 $n(A)+n(B)=3$.

--- 이차방정식의 실근 개수 조건에 의해 둘 중 하나는 중근을 가져야 함.

step3. 두 가지 케이스 나누어 모순 찾기

(Case 1) $f(x)=0$이 중근 $\alpha$를 가질 때:

$f(x)=a(x-\alpha {)}^2$. $n(A)=1$이므로 $n(B)=2$.

$g(x)=0$의 두 근을 ${\beta }_1,{\beta }_2$라 하면 $g(x)=(x-{\beta }_1)(x-{\beta }_2)$.

--- 대칭성에 의해 $g(\alpha )=4$에서 모순 발생 ($g(x)$의 최솟값이 음수여야 하므로).

(Case 2) $g(x)=0$이 중근 $\beta$를 가질 때:

$g(x)=(x-\beta {)}^2$. $n(B)=1$이므로 $n(A)=2$.

$f(\beta )=4$이고, $g(x)=4$의 해는 $x=\beta \pm 2$.

$f(x)=0$의 두 근이 $\beta \pm 2$이므로 $f(x)=a(x-\beta {)}^2+4$.

$f(\beta \pm 2)=0⟹4a+4=0⟹a=-1$.

$\therefore f(x)=-(x-\beta {)}^2+4$.

step4. 함수식 완성하고 정답 구하기

$f(2)=4$ 이므로 $-(2-\beta {)}^2+4=4⟹\beta =2$.

$f(x)=-(x-2{)}^2+4,g(x)=(x-2{)}^2$.

$g(8)-f(8)=36-(-32)=68$.

$\therefore 68$