2023년 9월 학력평가 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 외분점 공식을 이용하여 점의 좌표를 구한 뒤, 직선의 방정식에 대입하여 미지수를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 선분 $A B$ 를 $2 : 1$ 로 외분하는 점의 좌표를 $a$ 에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 구한 외분점의 좌표를 직선 $y = x$ 의 방정식에 대입하여 $a$ 의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 선분의 외분점 좌표 공식 : 두 점 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ 에 대하여 선분 $A B$ 를 $m : n$ ( $m \neq n$ )으로 외분하는 점의 좌표는 $(\frac{m x_{2} - n x_{1}}{m - n}, \frac{m y_{2} - n y_{1}}{m - n})$ 입니다.

5. 구체적 풀이

문제를 보면 가장 먼저 '외분점의 좌표를 구해야겠다'는 생각이 들어야 해요. 공식을 이용해 점의 좌표를 구하고 나면, 그 점이 직선

y = x

위에 있다는 조건을 써서

x

좌표와

y

좌표가 같다는 식을 세울 수 있습니다.

step1. 외분점의 좌표 구하기

두 점 $A (- 5, - 1)$ 과 $B (a, 1)$ 을 이은 선분 $A B$ 를 $2 : 1$ 로 외분하는 점을 구해볼게요. 외분점 공식 $(\frac{m x_{2} - n x_{1}}{m - n}, \frac{m y_{2} - n y_{1}}{m - n})$ 을 이용하면 됩니다.

$x$ 좌표는 $\frac{2 \cdot a - 1 \cdot (- 5)}{2 - 1} = \frac{2 a + 5}{1} = 2 a + 5$ 가 됩니다.

$y$ 좌표는 $\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1)}{2 - 1} = \frac{2 + 1}{1} = 3$ 이 됩니다.

따라서 외분점의 좌표는 $(2 a + 5, 3)$ 이에요. 내분점 공식과 헷갈려서 분모나 분자에 덧셈을 하지 않도록 조심하세요!

step2. 직선의 방정식에 대입하여 $a$ 구하기

문제에서 이 외분점이 직선 $y = x$ 위에 있다고 했어요. 어떤 점이 직선 위에 있다는 것은 그 점의 좌표를 직선의 식에 대입했을 때 식이 성립한다는 뜻이에요.

즉, $y = x$ 이므로 $y$ 좌표와 $x$ 좌표가 같아야 합니다.

$3 = 2 a + 5$

이 방정식을 풀면,

$2 a = 3 - 5 = - 2$

$a = - 1$

따라서 상수 $a$ 의 값은 $- 1$ 이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 외분점의 좌표 구하기

외분점 $P (x, y)$ 라 하면

$x = \frac{2 \cdot a - 1 \cdot (- 5)}{2 - 1} = 2 a + 5$

$y = \frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1)}{2 - 1} = 3$

$∴ P (2 a + 5, 3)$

step2. 직선의 방정식에 대입하여 $a$ 구하기

점 $P$ 가 $y = x$ 위에 있으므로

$3 = 2 a + 5$ --- $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 같음

$2 a = - 2$

$∴ a = - 1$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

외분점 공식을 정확히 기억하지 못하거나, 내분점 공식과 혼동하여 부호를 잘못 적용할 수 있습니다.
외분점의 좌표를 구한 후, '직선 $y = x$ 위에 있다'는 조건의 의미를 파악하지 못해 식을 세우지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

외분점 공식은 내분점 공식에서 가운데 부호만 '-'로 바뀐다는 점을 기억하여 정확히 적용하세요.
어떤 점이 직선 위에 있다는 것은 그 점의 좌표를 직선의 방정식에 대입했을 때 등식이 성립한다는 뜻이므로, $x$ 좌표와 $y$ 좌표를 각각 대입하여 방정식을 세우세요.

2023년 9월 학력평가 고1 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 평면좌표 / 외분점 / 직선의 방정식
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구