수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 9월 학력평가 고1 수학 8번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류공통수학1 · 이차방정식 / 근과 계수의 관계 / 곱셈공식의 변형
난이도하

🔍 이해용 풀이

문제
8. 이차방정식 x2+2x+7=0의 서로 다른 두 근을 α,β라 할 때, α2+αβ+β2의 값은? [3점]
① -3    ② -1    ③ 1    ④ 3    ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합과 곱을 구하고, 곱셈공식의 변형을 통해 주어진 식의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차방정식 x2+2x+7=0
- 두 근 α,β
- 구해야 할 식: α2+αβ+β2

3. 풀이의 순서

이 문제는 근과 계수의 관계와 곱셈공식의 변형을 이용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합과 곱을 구합니다.

step2. 구하고자 하는 식을 두 근의 합과 곱으로 표현할 수 있도록 곱셈공식을 변형합니다.

step3. step1에서 구한 값을 대입하여 최종 정답을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 근과 계수의 관계 : 이차방정식 ax2+bx+c=0의 두 근을 α,β라 할 때, α+β=−ba, αβ=ca가 성립합니다.

- 곱셈공식의 변형 : a2+ab+b2=(a+b)2−ab 로 변형할 수 있습니다.

5. 구체적 풀이

이차방정식의 두 근 α,β에 대한 대칭식(알파와 베타의 자리를 바꿔도 같은 식)의 값을 구하라고 할 때는, 직접 근을 구하는 것보다 '두 근의 합'과 '두 근의 곱'을 이용하는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다.

step1. 두 근의 합과 곱 구하기

이차방정식 x2+2x+7=0의 두 근이 α,β라고 주어졌어요. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 두 근의 합과 곱을 쉽게 구할 수 있습니다.

α+β=−21=−2

αβ=71=7

step2. 주어진 식 변형하기

우리가 구해야 하는 식은 α2+αβ+β2입니다. 이 식을 방금 구한 합(α+β)과 곱(αβ)의 형태로 바꿔볼게요.

α2+β2=(α+β)2−2αβ라는 곱셈공식의 변형을 떠올려보세요.

여기에 αβ가 하나 더 더해져 있으므로,

α2+αβ+β2=(α2+β2)+αβ={(α+β)2−2αβ}+αβ=(α+β)2−αβ 가 됩니다.

이때 (α+β)2−2αβ로만 계산해서 αβ를 더하는 것을 빠뜨리지 않도록 조심해야 해요.

step3. 값 대입하여 계산하기

이제 step1에서 구한 α+β=−2와 αβ=7을 step2에서 만든 식에 대입해 줍니다.

(α+β)2−αβ=(−2)2−7=4−7=−3

따라서 구하는 값은 -3이 됩니다.

[정답] 1

⚡ 실전용 풀이

step1. 두 근의 합과 곱 구하기

α+β=−2

αβ=7   --- 근과 계수의 관계 이용

step2. 주어진 식 변형하기

α2+αβ+β2=(α+β)2−αβ   --- 곱셈공식의 변형

step3. 값 대입하여 계산하기

(−2)2−7=4−7=−3

∴−3

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

α2+αβ+β2를 어떻게 변형해야 할지 몰라 직접 근의 공식을 써서 α,β를 구하려고 시도하다가 계산이 복잡해져서 막힐 수 있습니다.
곱셈공식 변형 시 (α+β)2−2αβ로 착각하여 α2+β2만 구하고 αβ를 더하는 것을 잊거나 부호를 헷갈릴 수 있습니다.

🔑 돌파구

직접 근을 구하지 말고, 근과 계수의 관계를 이용하여 α+β와 αβ의 값을 먼저 구하세요.
구하고자 하는 식을 (α+β)2−αβ로 변형하여 대입하면 훨씬 간단하게 풀립니다. 대칭식은 항상 합과 곱으로 표현할 수 있다는 점을 기억하세요.

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