수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 두 허근 설정하기

방정식 $x^2-px+p+19=0$에서 $p$가 실수이므로 계수가 모두 실수입니다.

계수가 실수인 이차방정식이 허근을 가질 때, 두 근은 서로 켤레복소수 관계에 있습니다.

한 허근의 허수부분이 $2$이므로, 이 근을 $a+2i$ ($a$는 실수)라고 둘 수 있어요.

그러면 다른 한 근은 자연스럽게 켤레복소수인 $a-2i$가 됩니다.

step2. 근과 계수의 관계 적용하기

이제 설정한 두 근 $a+2i$와 $a-2i$를 더하고 곱해볼까요?

두 근의 합: $(a+2i)+(a-2i)=2a$

두 근의 곱: $(a+2i)(a-2i)=a^2-(2i{)}^2=a^2+4$

이차방정식 $x^2-px+p+19=0$에서 근과 계수의 관계를 적용하면,

두 근의 합은 $p$, 두 근의 곱은 $p+19$가 됩니다.

따라서 다음 두 식을 얻을 수 있어요.

$2a=p$

$a^2+4=p+19$

step3. 연립방정식 풀기

앞서 구한 $2a=p$에서 $a=\frac{p}{2}$로 정리할 수 있습니다.

여기서 $p$를 소거하여 $a$에 대한 식을 만드는 것보다, $a$를 소거하여 $p$에 대한 방정식으로 만드는 것이 우리가 구하고자 하는 $p$를 바로 찾을 수 있어 더 효율적입니다.

$a=\frac{p}{2}$를 두 번째 식에 대입해 볼게요.

${\left(\frac{p}{2}\right)}^2+4=p+19$

식을 정리하면 $\frac{p^2}{4}-p-15=0$이 되고, 양변에 $4$를 곱하면 분수를 없앨 수 있어요.

$p^2-4p-60=0$

이 이차방정식을 인수분해하면 $(p-10)(p+6)=0$이 됩니다.

따라서 $p=10$ 또는 $p=-6$입니다.

문제에서 $p$는 양의 실수라고 했으므로, 조건을 만족하는 값은 $p=10$이 됩니다.

step1. 두 허근 설정

$p$가 실수이므로 두 근은 $a+2i,a-2i$   --- $a$는 실수

step2. 근과 계수의 관계

$(a+2i)+(a-2i)=2a=p$

$(a+2i)(a-2i)=a^2+4=p+19$

step3. 연립방정식 풀기

--- $a=\frac{p}{2}$를 대입하면

$\frac{p^2}{4}+4=p+19$

$p^2-4p-60=0$

$(p-10)(p+6)=0$

$p>0$이므로 $p=10$

$\therefore 10$