수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 점 P의 좌표 구하기

점 P는 직선 $y=k(x+4)$ 위에 있고, $x$좌표가 $-k$라고 했어요.

그럼 $x$ 대신 $-k$를 대입해서 $y$좌표를 구해볼까요?

$y=k(-k+4)=-k^2+4k$

따라서 점 P의 좌표는 $(-k,-k^2+4k)$가 됩니다.

step2. 사각형 PQOR의 넓이 식 세우기

사각형 PQOR의 넓이를 한 번에 구하기 어려우니, 선분 PO를 그어 $△PQO$와 $△PRO$ 두 개로 나누어 봅시다.

1) $△PQO$의 넓이

밑변을 선분 QO로 보면, Q$(-2,0)$이고 O$(0,0)$이므로 밑변의 길이는 $2$입니다.

이때 높이는 점 P의 $y$좌표가 되겠죠?

$1\le k\le 3$일 때 $-k^2+4k=k(4-k)$는 항상 양수이므로, 높이는 $-k^2+4k$입니다.

$△PQO$의 넓이 = $\frac{1}{2}\times 2\times (-k^2+4k)=-k^2+4k$

2) $△PRO$의 넓이

밑변을 선분 RO로 보면, R$(0,1)$이고 O$(0,0)$이므로 밑변의 길이는 $1$입니다.

이때 높이는 점 P의 $x$좌표의 절댓값이 됩니다.

점 P의 $x$좌표는 $-k$이고 $k$가 양수이므로, 길이를 구할 때는 부호를 떼고 $k$로 생각해야 합니다!

$△PRO$의 넓이 = $\frac{1}{2}\times 1\times k=\frac{1}{2}k$

따라서 사각형 PQOR의 넓이를 $S(k)$라고 하면,

$S(k)=(-k^2+4k)+\frac{1}{2}k=-k^2+\frac{9}{2}k$ 가 됩니다.

step3. 넓이의 최댓값 구하기

이제 $S(k)=-k^2+\frac{9}{2}k$ 의 최댓값을 구하면 됩니다.

이차함수의 최댓값을 구하기 위해 완전제곱식으로 변형해볼게요.

$S(k)=-(k^2-\frac{9}{2}k)$

$S(k)=-(k^2-\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}-\frac{81}{16})$

$S(k)=-{(k-\frac{9}{4})}^2+\frac{81}{16}$

문제에서 $k$의 범위가 $1\le k\le 3$이라고 주어졌어요.

꼭짓점의 $k$좌표인 $\frac{9}{4}$ (즉, $2.25$)는 이 범위 안에 쏙 들어가네요!

따라서 $k=\frac{9}{4}$일 때, 사각형 PQOR의 넓이는 최댓값 $\frac{81}{16}$을 가집니다.

step1. 점 P의 좌표 구하기

$P(-k,k(-k+4))=P(-k,-k^2+4k)$

step2. 사각형 PQOR의 넓이 식 세우기

사각형 PQOR = $△PQO+△PRO$   --- 선분 PO를 그어 두 삼각형으로 분할

$△PQO=\frac{1}{2}\times 2\times (-k^2+4k)=-k^2+4k$

$△PRO=\frac{1}{2}\times 1\times |-k|=\frac{1}{2}k$

$S(k)=-k^2+4k+\frac{1}{2}k=-k^2+\frac{9}{2}k$

step3. 넓이의 최댓값 구하기

$S(k)=-{(k-\frac{9}{4})}^2+\frac{81}{16}$

$1\le k\le 3$이므로 $k=\frac{9}{4}$일 때 최댓값 $\frac{81}{16}$을 가짐.

∴ $\frac{81}{16}$