2024년 9월 학력평가 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 이차방정식의 판별식과 항등식의 성질을 순차적으로 적용하는 방법으로 풀이합니다.

step1. 이차방정식이 중근을 가질 조건(판별식 $D = 0$ )을 이용하여 식을 세웁니다.

step2. 얻어진 식을 $k$ 에 대한 항등식으로 보고, $k$ 에 대해 정리합니다.

step3. 항등식의 성질을 이용하여 상수 $a, b$ 의 값을 구하고 $a + b$ 를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 중근 조건 (판별식) : 이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 이 중근을 가지면 판별식 $D = b^{2} - 4 a c = 0$ 이다. $x$ 의 계수가 짝수( $2 b^{'}$ )인 경우 $D / 4 = (b^{'})^{2} - a c = 0$ 을 사용할 수 있다.

- 항등식의 성질 : $k$ 에 대한 등식 $A k + B = 0$ 이 $k$ 의 값에 관계없이 항상 성립하면 $A = 0$ 이고 $B = 0$ 이다.

5. 구체적 풀이

문제를 읽을 때 두 가지 핵심 조건이 보이나요? '중근을 가진다'와 '

k

의 값에 관계없이'입니다. 이럴 때는 방정식의 주인공인

x

에 대해 먼저 판별식을 써서 식을 하나 만들고, 그 다음 그 식이

k

에 대한 항등식임을 이용해

k

로 묶어주는 순서로 접근하는 것이 핵심입니다.

step1. 이차방정식의 판별식 적용

주어진 방정식은 $x$ 에 대한 이차방정식이고, 중근을 가진다고 했으므로 판별식이 0이 되어야 해요. $x$ 의 계수가 $- 2 (k - a)$ 로 짝수 형태이므로 짝수 판별식 $D / 4$ 를 사용해 볼게요.

$D / 4 = (k - a)^{2} - (k^{2} - 4 k + b) = 0$

여기서 $k$ 에 대한 항등식 조건을 먼저 생각해서 식을 $k$ 로 묶으려고 하면 안 돼요. 먼저 $x$ 에 대한 이차방정식의 판별식을 적용하는 것이 올바른 순서랍니다.

step2. $k$ 에 대한 항등식으로 정리

step1에서 구한 식을 전개해 볼까요?

$k^{2} - 2 a k + a^{2} - k^{2} + 4 k - b = 0$

$k^{2}$ 항은 지워지고, 남은 식을 $k$ 가 있는 항과 없는 항으로 묶어서 정리해 줍니다.

$(- 2 a + 4) k + (a^{2} - b) = 0$

문제에서 '실수 $k$ 의 값에 관계없이 항상' 성립한다고 했으므로, 이 식은 $k$ 에 대한 항등식이에요. 따라서 $k$ 에 대해 내림차순으로 정리하는 것이 포인트입니다.

step3. 상수 $a, b$ 구하기

$k$ 에 대한 항등식 $(- 2 a + 4) k + (a^{2} - b) = 0$ 이 항상 성립하려면, $k$ 의 계수와 상수항이 모두 0이어야 해요.

$- 2 a + 4 = 0$ 에서 $a = 2$ 가 됩니다.

$a^{2} - b = 0$ 에 $a = 2$ 를 대입하면 $2^{2} - b = 0$ 이 되어 $b = 4$ 가 되죠.

따라서 우리가 구하고자 하는 $a + b$ 의 값은 $2 + 4 = 6$ 입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 이차방정식의 판별식 적용

$D / 4 = (k - a)^{2} - (k^{2} - 4 k + b) = 0$

step2. $k$ 에 대한 항등식으로 정리

$k^{2} - 2 a k + a^{2} - k^{2} + 4 k - b = 0$

$(- 2 a + 4) k + (a^{2} - b) = 0$ --- $k$ 에 대한 항등식이므로

step3. 상수 $a, b$ 구하기

$- 2 a + 4 = 0 ⟹ a = 2$

$a^{2} - b = 0 ⟹ 4 - b = 0 ⟹ b = 4$

$∴ a + b = 6$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

'중근을 가진다'는 조건과 ' $k$ 의 값에 관계없이'라는 조건 중 어느 것을 먼저 적용해야 할지 순서를 헷갈릴 수 있습니다.
판별식을 구한 후, 그 식이 $k$ 에 대한 항등식이라는 사실을 인지하지 못해 $a, b$ 를 구하지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

이차방정식이 중근을 가진다는 조건이 먼저이므로, 판별식 $D = 0$ 을 먼저 세웁니다.
판별식으로 얻은 등식이 $k$ 에 대한 항등식이므로, 식을 $k$ 에 대해 내림차순으로 정리한 후 계수비교법을 사용합니다.
(팁: '~값에 관계없이 항상 성립'이라는 문구가 나오면 그 문자에 대한 항등식으로 접근하세요!)

2024년 9월 학력평가 고1 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 이차방정식 / 중근 / 항등식
난이도	중

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구