| 2024년 9월 학력평가 고1 수학 25번 풀이 해설 [이해용/실전용] | |
| 문제의 분류 | 공통수학1 · 연립이차방정식 / 인수분해 |
| 난이도 | 중하 |
이차식과 이차식으로 이루어진 연립방정식은 인수분해되는 식을 찾아 일차식을 유도한 뒤, 다른 식에 대입하여 푸는 방법으로 풀이합니다.
step1. 첫 번째 방정식을 인수분해하여 와 의 관계식을 찾습니다.
step2. 찾은 관계식을 두 번째 방정식에 대입하여 한 문자에 대한 이차방정식을 만듭니다.
step3. 이차방정식을 풀어 의 값을 구하고, 이를 통해 의 값을 구한 뒤 최종 정답을 계산합니다.
- 이차 연립방정식의 풀이 (인수분해) : 두 이차방정식 중 상수항이 0이거나 인수분해가 쉽게 되는 식을 찾아 두 일차식의 곱으로 나타낸 후, 각각을 다른 이차방정식에 대입하여 해를 구한다.
step1. 첫 번째 방정식 인수분해하기
첫 번째 식 을 자세히 살펴보면, 좌변이 완전제곱식으로 인수분해됩니다.
따라서 제곱해서 0이 되려면 그 안의 값이 0이어야 하므로, , 즉 라는 관계식을 얻을 수 있습니다.
step2. 두 번째 방정식에 대입하기
이제 얻어낸 를 두 번째 식 에 대입해 볼까요?
대신 를 넣으면,
이 식의 양변을 4로 나누어 간단히 정리합니다.
여기서 대입 후 전개할 때 부호와 계수를 꼼꼼히 확인하여 계산 실수를 하지 않도록 주의해야 해요.
step3. 해 구하기 및 최종 답 계산
정리된 식 역시 완전제곱식으로 인수분해됩니다.
따라서 이 됩니다.
이제 을 에 대입하면 이 되죠.
문제에서 해가 라고 했으므로 입니다.
최종적으로 구하고자 하는 값은 입니다.
step1. 첫 번째 방정식 인수분해하기
step2. 두 번째 방정식에 대입하기
--- 를 대입하면
step3. 해 구하기 및 최종 답 계산
두 방정식이 모두 복잡해 보여서 어디서부터 손을 대야 할지 막막할 수 있어요.
특히 두 번째 식이 에 대해서는 이차식이지만 에 대해서는 일차식이라서 일반적인 연립이차방정식의 형태와 달라 당황할 수 있습니다.
연립방정식 중 상수항이 0이거나 완전제곱식으로 쉽게 인수분해되는 식을 먼저 찾으세요.
첫 번째 식을 인수분해하여 와 의 관계식을 찾고, 이를 두 번째 식에 대입하여 한 문자에 대한 방정식으로 만드는 것이 핵심입니다.
팁: 이차 연립방정식은 항상 '인수분해하기 쉬운 식'부터 공략하세요!