수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 원의 중심과 반지름 구하기

주어진 원의 방정식은 $x^2+y^2=8$ 이에요.

이 식을 통해 원의 중심 $O$의 좌표는 $(0,0)$이고, 반지름 $r$은 $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$라는 것을 알 수 있어요.

step2. 점 $A$와 원의 중심 사이의 거리 구하기

이제 점 $A(5,5)$와 원의 중심 $O(0,0)$ 사이의 거리 $d$를 구해볼게요.

두 점 사이의 거리 공식을 이용하면,

$d=\overline{OA}=\sqrt{(5-0{)}^2+(5-0{)}^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ 가 됩니다.

여기서 점 $A$가 원 밖의 점인지 확인하지 않고 무작정 공식을 적용하면 안 돼요. 중심거리 $d=5\sqrt{2}$가 반지름 $r=2\sqrt{2}$보다 크므로 점 $A$는 원 밖에 있다는 것을 확인할 수 있어요.

step3. 선분 $AP$의 길이의 최솟값 구하기

원 밖의 점 $A$에서 원 위의 점 $P$까지의 거리가 최소가 되려면, 점 $P$는 선분 $OA$ 위에 있어야 해요. 따라서 최솟값은 중심거리 $d$에서 반지름 $r$을 뺀 값인 $d-r$이 됩니다.

계산해보면,

최솟값 = $d-r=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ 입니다.

따라서 선분 $AP$의 길이의 최솟값은 $3\sqrt{2}$가 됩니다.

step1. 원의 중심과 반지름

원 $x^2+y^2=8$ 의 중심 $O(0,0)$, 반지름 $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

step2. 중심거리 계산

점 $A(5,5)$와 중심 $O(0,0)$ 사이의 거리 $d$는

$d=\overline{OA}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

step3. 최솟값 도출

선분 $AP$의 길이의 최솟값은 $d-r$ 이므로

$5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

$\therefore ②$