수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 이차함수의 식을 세우고 각 점의 좌표 구하기

최고차항의 계수를 $k$ ($k>0$)라고 하면, $x$축과 만나는 두 점이 $A(2,0)$, $B(a,0)$이므로 이차함수의 식은 $f(x)=k(x-2)(x-a)$로 둘 수 있어요.

$y$축과 만나는 점 $C$의 좌표는 $x=0$을 대입하여 $C(0,2ka)$가 됩니다.

꼭짓점 $P$의 $x$좌표는 두 $x$절편의 중점이므로 $\frac{a+2}{2}$입니다.

$y$좌표는 $f(\frac{a+2}{2})=k(\frac{a+2}{2}-2)(\frac{a+2}{2}-a)=k(\frac{a-2}{2})(-\frac{a-2}{2})=-k\frac{(a-2{)}^2}{4}$가 됩니다.

따라서 꼭짓점은 $P(\frac{a+2}{2},-k\frac{(a-2{)}^2}{4})$입니다.

step2. 사각형 $APRQ$가 정사각형이 될 조건 찾기

$Q,R$은 직선 $BC$에 내린 수선의 발이므로 $AQ⟂BC$, $PR⟂BC$입니다. 따라서 $AQ$와 $PR$은 서로 평행($AQ\parallel PR$)합니다.

사각형 $APRQ$가 정사각형이 되려면 마주보는 변인 $AP$와 $QR$도 평행해야 합니다. $Q,R$이 직선 $BC$ 위에 있으므로, 직선 $AP$와 직선 $BC$가 평행해야 한다는 뜻이죠.

또한, 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같으므로 이웃한 두 변인 $AP$와 $AQ$의 길이가 같아야 합니다 ($AP=AQ$).

step3. 평행 조건을 이용하여 $a$의 값 구하기

직선 $BC$의 기울기를 구해볼까요? $B(a,0)$과 $C(0,2ka)$를 지나므로 기울기는 $\frac{2ka-0}{0-a}=-2k$입니다.

직선 $AP$의 기울기는 $A(2,0)$과 $P(\frac{a+2}{2},-k\frac{(a-2{)}^2}{4})$를 지나므로 $\frac{-k\frac{(a-2{)}^2}{4}-0}{\frac{a+2}{2}-2}=\frac{-k\frac{(a-2{)}^2}{4}}{\frac{a-2}{2}}=-k\frac{a-2}{2}$가 됩니다.

두 직선이 평행하므로 기울기가 같아야 해요.

$-2k=-k\frac{a-2}{2}$

$k>0$이므로 양변을 $-k$로 나누면 $2=\frac{a-2}{2}$가 됩니다.

따라서 $a-2=4$가 되어 $a=6$임을 알 수 있습니다.

step4. 이웃한 두 변의 길이가 같다는 조건으로 $k$의 값 구하기

$a=6$을 대입하면 점의 좌표들이 훨씬 간단해집니다.

$A(2,0)$, $P(4,-4k)$가 되고, 직선 $BC$는 $x$절편이 $6$이고 기울기가 $-2k$이므로 $y=-2k(x-6)$, 즉 $2kx+y-12k=0$이 됩니다.

이제 선분 $AP$의 길이를 구해봅시다.

$AP=\sqrt{(4-2{)}^2+(-4k-0{)}^2}=\sqrt{4+16k^2}=2\sqrt{1+4k^2}$

다음으로 선분 $AQ$의 길이는 점 $A(2,0)$에서 직선 $2kx+y-12k=0$까지의 거리와 같습니다.

$AQ=\frac{|2k(2)+0-12k|}{\sqrt{(2k{)}^2+1^2}}=\frac{|-8k|}{\sqrt{4k^2+1}}=\frac{8k}{\sqrt{4k^2+1}}$ ($k>0$이므로 절댓값은 그냥 벗겨집니다.)

$AP=AQ$를 풀 때 무리식이 있다고 당황하지 마세요. 양변에 분모를 곱하고 제곱하면 계산이 아주 깔끔해집니다.

$2\sqrt{1+4k^2}=\frac{8k}{\sqrt{4k^2+1}}$

양변에 $\sqrt{4k^2+1}$을 곱하면 $2(1+4k^2)=8k$가 됩니다.

양변을 $2$로 나누고 정리하면 $4k^2-4k+1=0$이 되고, 이는 $(2k-1{)}^2=0$으로 인수분해됩니다.

따라서 $k=\frac{1}{2}$입니다.

step5. 완성된 $f(x)$에 $x=12$를 대입하여 정답 구하기

이제 $k$와 $a$를 모두 구했으니 이차함수의 식이 완성되었습니다.

$f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)$

우리가 구해야 하는 것은 $f(12)$의 값이므로 $x=12$를 대입합니다.

$f(12)=\frac{1}{2}(12-2)(12-6)=\frac{1}{2}\times 10\times 6=30$

따라서 정답은 $30$입니다.

step1. 이차함수의 식을 세우고 각 점의 좌표 구하기

$f(x)=k(x-2)(x-a)(k>0,a>2)$

$A(2,0),B(a,0),C(0,2ka)$

$P(\frac{a+2}{2},-k\frac{(a-2{)}^2}{4})$

step2. 사각형 $APRQ$가 정사각형이 될 조건 찾기

$AQ⟂BC,PR⟂BC\Rightarrow AQ\parallel PR$

정사각형이므로 $AP\parallel BC$, $AP=AQ$

step3. 평행 조건을 이용하여 $a$의 값 구하기

$BC$ 기울기 = $\frac{2ka}{-a}=-2k$

$AP$ 기울기 = $\frac{-k(a-2{)}^2/4}{(a-2)/2}=-k\frac{a-2}{2}$

$-2k=-k\frac{a-2}{2}\Rightarrow a=6$

step4. 이웃한 두 변의 길이가 같다는 조건으로 $k$의 값 구하기

$A(2,0),P(4,-4k)$

$BC$ 방정식: $2kx+y-12k=0$

$AP=\sqrt{4+16k^2}=2\sqrt{1+4k^2}$

$AQ=\frac{|4k-12k|}{\sqrt{4k^2+1}}=\frac{8k}{\sqrt{4k^2+1}}$

$2\sqrt{1+4k^2}=\frac{8k}{\sqrt{4k^2+1}}$

$1+4k^2=4k\Rightarrow (2k-1{)}^2=0\Rightarrow k=\frac{1}{2}$

step5. 완성된 $f(x)$에 $x=12$를 대입하여 정답 구하기

$f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)$

$f(12)=\frac{1}{2}\times 10\times 6=30$