2024년 9월 학력평가 수학 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 좌표평면 위의 점들을 대칭이동하여 좌표를 구한 뒤, 각 삼각형의 특별한 성질(외심의 위치, 직각삼각형)을 파악하여 외접원의 반지름을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 대칭이동의 성질을 이용하여 점 $B, C$ 의 좌표를 구합니다.

step2. 원점과 세 점 사이의 거리를 비교하여 $△ A B C$ 의 외접원 반지름 $r_{1}$ 을 구합니다.

step3. 두 직선의 기울기를 이용하여 $△ A O C$ 가 직각삼각형임을 파악하고 $r_{2}$ 를 구합니다.

step4. 주어진 $r_{1} \times r_{2}$ 식에 대입하여 $a^{2}$ 의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 대칭이동 : 점 $(x, y)$ 를 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동하면 $(y, x)$ 가 되고, $x$ 축에 대하여 대칭이동하면 $(x, - y)$ 가 됩니다.

- 수직인 두 직선의 기울기 : 좌표평면에서 두 직선이 서로 수직이면 두 직선의 기울기의 곱은 -1입니다.

- 직각삼각형의 외심 : 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 위치하며, 외접원의 반지름은 빗변의 길이의 절반과 같습니다.

5. 구체적 풀이

외접원의 반지름을 구할 때 무작정 사인법칙을 쓰기보다는, 세 점의 좌표 특징을 관찰하여 특별한 성질(외심의 위치, 직각삼각형 여부)을 찾아내는 것이 계산을 획기적으로 줄이는 열쇠입니다.

step1. 점 $B, C$ 의 좌표 구하기

점 $A (a, 2)$ 를 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 점 $B$ 의 좌표는 $x$ 좌표와 $y$ 좌표의 자리를 바꾼 $(2, a)$ 입니다.

점 $B (2, a)$ 를 $x$ 축에 대하여 대칭이동한 점 $C$ 의 좌표는 $y$ 좌표의 부호를 바꾼 $(2, - a)$ 입니다.

step2. $△ A B C$ 의 외접원 반지름 $r_{1}$ 구하기

$△ A B C$ 의 세 꼭짓점 $A, B, C$ 에서 원점 $O (0, 0)$ 까지의 거리를 각각 구해봅시다.

$O A = \sqrt{a^{2} + 2^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4}$

$O B = \sqrt{2^{2} + a^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4}$

$O C = \sqrt{2^{2} + (- a)^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4}$

세 점 $A, B, C$ 에서 원점 $O$ 까지의 거리가 모두 같으므로, 원점 $O$ 는 $△ A B C$ 의 외심입니다.

따라서 $△ A B C$ 의 외접원의 반지름 $r_{1}$ 은 $O A$ 의 길이와 같습니다.

$r_{1} = \sqrt{a^{2} + 4}$

step3. $△ A O C$ 의 외접원 반지름 $r_{2}$ 구하기

$△ A O C$ 의 모양을 파악하기 위해 직선 $O A$ 와 직선 $O C$ 의 기울기를 구해봅시다.

직선 $O A$ 의 기울기 = $\frac{2 - 0}{a - 0} = \frac{2}{a}$

직선 $O C$ 의 기울기 = $\frac{- a - 0}{2 - 0} = - \frac{a}{2}$

두 기울기의 곱을 계산하면 $\frac{2}{a} \times (- \frac{a}{2}) = - 1$ 이 됩니다.

두 직선의 기울기의 곱이 -1이므로 $O A ⟂ O C$ 이고, $△ A O C$ 는 $∠ A O C = 90^{\circ}$ 인 직각삼각형입니다.

직각삼각형의 외접원의 반지름은 빗변의 길이의 절반이라는 성질을 놓치면 계산이 매우 복잡해질 수 있습니다.

빗변 $A C$ 의 길이를 구해보면,

$A C = \sqrt{(a - 2)^{2} + (2 - (- a))^{2}} = \sqrt{(a - 2)^{2} + (a + 2)^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + 8} = \sqrt{2 (a^{2} + 4)}$

따라서 $△ A O C$ 의 외접원의 반지름 $r_{2}$ 는 빗변 $A C$ 의 절반입니다.

$r_{2} = \frac{1}{2} A C = \frac{\sqrt{2 (a^{2} + 4)}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a^{2} + 4}$

step4. $a^{2}$ 의 값 구하기

문제에서 $r_{1} \times r_{2} = 18 \sqrt{2}$ 라고 주어졌으므로, 앞서 구한 $r_{1}, r_{2}$ 를 대입합니다.

$\sqrt{a^{2} + 4} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a^{2} + 4} = 18 \sqrt{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} (a^{2} + 4) = 18 \sqrt{2}$

양변에 $\sqrt{2}$ 를 나누고 2를 곱하여 정리하면,

$a^{2} + 4 = 36$

$a^{2} = 32$

따라서 구하는 $a^{2}$ 의 값은 32입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 $B, C$ 의 좌표

$A (a, 2) ⟹ B (2, a) ⟹ C (2, - a)$

step2. $r_{1}$ 구하기

$O A = \sqrt{a^{2} + 4}$

$O B = \sqrt{2^{2} + a^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4}$

$O C = \sqrt{2^{2} + (- a)^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4}$

--- $O A = O B = O C$ 이므로 원점 $O$ 가 $△ A B C$ 의 외심

$∴ r_{1} = \sqrt{a^{2} + 4}$

step3. $r_{2}$ 구하기

$O A$ 기울기: $\frac{2}{a}$ , $O C$ 기울기: $- \frac{a}{2}$

$\frac{2}{a} \times (- \frac{a}{2}) = - 1$

--- $O A ⟂ O C$ 이므로 $△ A O C$ 는 직각삼각형

$A C = \sqrt{(a - 2)^{2} + (2 + a)^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + 8} = \sqrt{2 (a^{2} + 4)}$

$∴ r_{2} = \frac{1}{2} A C = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a^{2} + 4}$

step4. $a^{2}$ 구하기

$r_{1} \times r_{2} = \sqrt{a^{2} + 4} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a^{2} + 4} = 18 \sqrt{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} (a^{2} + 4) = 18 \sqrt{2}$

$a^{2} + 4 = 36$

$∴ a^{2} = 32$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$△ A B C$ 의 외접원 반지름을 구하기 위해 사인법칙이나 신발끈 공식 등을 사용하려다 계산이 너무 복잡해져서 막힐 수 있습니다.
$△ A O C$ 의 외접원 반지름을 구할 때, 이 삼각형이 직각삼각형임을 눈치채지 못하면 세 변의 길이를 모두 구하고 복잡한 공식을 써야 해서 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

좌표평면 위의 세 점이 주어졌을 때, 원점과의 거리를 각각 구해보면 외심의 위치를 쉽게 파악할 수 있는 경우가 많습니다. 이 문제에서는 $O A = O B = O C$ 임을 확인하여 원점이 외심임을 알아내는 것이 핵심입니다.
세 점의 좌표가 주어졌을 때, 두 선분의 기울기의 곱이 -1인지 확인하여 직각삼각형 여부를 먼저 체크하는 습관을 들이면 계산을 크게 줄일 수 있습니다. 직각삼각형의 외접원 반지름은 빗변의 절반임을 이용하세요.
(팁: 좌표평면에서 삼각형의 외접원 문제가 나오면, 원점과의 거리나 수직 조건을 먼저 확인해보세요!)

2024년 9월 학력평가 고1 수학 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 도형의 이동 / 대칭이동 / 외심 / 직각삼각형
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구