수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 직선 $l$의 방정식 세우기

점 $(1,3)$을 지나고 기울기가 $k$인 직선 $l$의 방정식은 다음과 같이 세울 수 있어요.

$y-3=k(x-1)$

점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰려면 이 식을 $ax+by+c=0$ 꼴(일반형)로 정리해야 한다는 것을 놓치기 쉽습니다.

식을 전개해서 한쪽으로 몰아볼까요?

$y-3=kx-k$

$kx-y-k+3=0$

step2. 점과 직선 사이의 거리 공식 적용하기

이제 원점 $(0,0)$과 직선 $kx-y-k+3=0$ 사이의 거리가 $\sqrt{5}$라는 조건을 이용할 차례예요.

거리 $d$를 구하는 공식에 대입해 보면,

$d=\frac{|k·0-1·0-k+3|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-k+3|}{\sqrt{k^2+1}}$

이 거리가 $\sqrt{5}$라고 했으므로,

$\frac{|-k+3|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{5}$ 가 됩니다.

step3. 방정식 풀기

위에서 구한 식의 양변에 분모인 $\sqrt{k^2+1}$을 곱해줄게요.

$|-k+3|=\sqrt{5(k^2+1)}$

절댓값과 근호(루트)가 양변에 있을 때는 양변을 제곱하여 다항방정식으로 만들어 푸는 것이 핵심입니다.

양변을 제곱하면,

$(-k+3{)}^2=5(k^2+1)$

$k^2-6k+9=5k^2+5$

우변으로 모든 항을 이항해서 정리해 볼까요?

$4k^2+6k-4=0$

양변을 2로 나누면,

$2k^2+3k-2=0$

이 이차방정식을 인수분해하면,

$(2k-1)(k+2)=0$

따라서 $k=\frac{1}{2}$ 또는 $k=-2$ 가 나옵니다.

문제에서 양수 $k$의 값을 구하라고 했으므로, 우리가 찾는 $k$는 $\frac{1}{2}$입니다.

step1. 직선 $l$의 방정식 세우기

$y-3=k(x-1)$

$kx-y-k+3=0$

step2. 점과 직선 사이의 거리 공식 적용하기

$\frac{|-k+3|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{5}$

step3. 방정식 풀기

$|-k+3|=\sqrt{5(k^2+1)}$   --- 양변을 제곱하면

$k^2-6k+9=5k^2+5$

$4k^2+6k-4=0$

$2k^2+3k-2=0$

$(2k-1)(k+2)=0$

$k=\frac{1}{2}$ 또는 $k=-2$

$k>0$이므로 $k=\frac{1}{2}$

$\therefore ③$