수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $a$의 값 구하기

먼저 주어진 원의 방정식 $C:(x-a{)}^2+(y-a{)}^2=10$을 살펴볼까요? 이 원의 중심은 $(a,a)$이고, 반지름 $r$은 $\sqrt{10}$이에요.

문제에서 원의 중심 $(a,a)$와 직선 $y=2x$ 사이의 거리가 $\sqrt{5}$라고 했어요.

점과 직선 사이의 거리 공식을 쓸 때는 직선의 방정식을 $Ax+By+C=0$ 꼴로 먼저 정리해야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다.

$y=2x$를 $2x-y=0$으로 바꾼 뒤 공식을 적용해 볼게요.

$d=\frac{|2·a-1·a|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a|}{\sqrt{5}}$

이 거리가 $\sqrt{5}$와 같아야 하므로,

$\frac{|a|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

$|a|=5$

문제 조건에서 $a>0$이라고 했으므로, $a=5$가 됩니다.

따라서 원의 중심은 $(5,5)$라는 것을 알 수 있어요.

step2. $k$에 대한 방정식 세우기

이제 두 번째 조건을 사용할 차례예요. 직선 $y=kx$가 원 $C$에 접한다고 했죠?

원과 직선이 접할 때는 판별식보다 '원의 중심에서 직선까지의 거리 = 원의 반지름'을 이용하는 것이 계산이 훨씬 간단합니다.

직선의 방정식을 $kx-y=0$으로 정리하고, 원의 중심 $(5,5)$에서 이 직선까지의 거리 $d$를 구해봅시다.

$d=\frac{|k·5-1·5|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\frac{|5k-5|}{\sqrt{k^2+1}}$

원과 직선이 접하려면 이 거리 $d$가 원의 반지름인 $\sqrt{10}$과 같아야 해요.

$\frac{|5k-5|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{10}$

양변에 분모를 곱해주면,

$|5k-5|=\sqrt{10(k^2+1)}$

이렇게 $k$에 대한 방정식을 세웠습니다.

step3. $k$의 값 구하기

방정식을 풀기 위해 양변을 제곱해 볼게요. 절댓값과 루트를 동시에 없앨 수 있어요.

$(5k-5{)}^2=10(k^2+1)$

$25(k-1{)}^2=10(k^2+1)$

$25(k^2-2k+1)=10k^2+10$

괄호를 풀고 식을 정리해 봅시다.

$25k^2-50k+25=10k^2+10$

$15k^2-50k+15=0$

숫자가 크니까 양변을 5로 나누어 간단히 만들게요.

$3k^2-10k+3=0$

이제 인수분해를 해볼까요?

$(3k-1)(k-3)=0$

따라서 $k=\frac{1}{3}$ 또는 $k=3$이 나옵니다.

마지막으로 문제의 조건을 확인해 보면 $0<k<1$이라고 했어요.

그러므로 우리가 찾는 $k$의 값은 $\frac{1}{3}$이 됩니다.

step1. $a$의 값 구하기

원 $C$의 중심 $(a,a)$, 직선 $2x-y=0$

$d=\frac{|2a-a|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

$|a|=5$

$a>0$ 이므로 $a=5$

step2. $k$에 대한 방정식 세우기

원 $C$의 중심 $(5,5)$, 반지름 $r=\sqrt{10}$, 직선 $kx-y=0$

$d=\frac{|5k-5|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{10}$   --- 접하므로 $d=r$ 이용

step3. $k$의 값 구하기

$|5k-5|=\sqrt{10(k^2+1)}$

양변 제곱: $25(k-1{)}^2=10(k^2+1)$

$25k^2-50k+25=10k^2+10$

$15k^2-50k+15=0$

$3k^2-10k+3=0$

$(3k-1)(k-3)=0$

$0<k<1$ 이므로 $k=\frac{1}{3}$

$\therefore ③$