2024년 9월 학력평가 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 선분의 내분점 공식을 이용하여 방정식을 세우고 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 내분점 공식을 이용하여 선분 $A B$ 를 $1 : 2$ 로 내분하는 점의 좌표를 $a, b$ 에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 구한 내분점의 식을 주어진 좌표 $(2, 3)$ 과 비교하여 $a, b$ 의 값을 각각 구합니다.

step3. 구한 $a, b$ 를 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 선분의 내분점 공식 : 두 점 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ 에 대하여 선분 $A B$ 를 $m : n$ ( $m > 0, n > 0$ )으로 내분하는 점 $P$ 의 좌표는 $(\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n})$ 입니다.

5. 구체적 풀이

내분점 공식을 정확히 알고 있다면, 공식에 점

A

와

B

의 좌표를 대입하여 내분점의 좌표를

a

와

b

로 표현할 수 있어요. 그 결과가

(2, 3)

과 같아야 하므로,

x

좌표와

y

좌표를 각각 비교하면

a

와

b

를 쉽게 구할 수 있답니다.

step1. 내분점의 좌표를 식으로 나타내기

두 점 $A (1, 2)$ 와 $B (a, b)$ 를 이은 선분 $A B$ 를 $1 : 2$ 로 내분하는 점의 좌표를 구해볼게요.

내분점 공식에 대입할 때는 비율과 좌표를 '크로스'로 곱해주는 것이 중요해요. 즉, 비율 $1$ 은 점 $B$ 의 좌표에, 비율 $2$ 는 점 $A$ 의 좌표에 곱해줍니다.

$x$ 좌표: $\frac{1 \cdot a + 2 \cdot 1}{1 + 2} = \frac{a + 2}{3}$

$y$ 좌표: $\frac{1 \cdot b + 2 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{b + 4}{3}$

따라서 내분점의 좌표는 $(\frac{a + 2}{3}, \frac{b + 4}{3})$ 가 됩니다.

공식에 대입할 때 $A$ 와 $B$ 의 순서를 바꿔서 $1$ 을 $A$ 에, $2$ 를 $B$ 에 곱하지 않도록 조심해야 해요.

step2. $a$ 와 $b$ 의 값 구하기

문제에서 이 내분점의 좌표가 $(2, 3)$ 이라고 주어졌어요.

그러므로 우리가 구한 식과 이 좌표가 같아야 합니다.

$x$ 좌표를 비교하면: $\frac{a + 2}{3} = 2$

양변에 $3$ 을 곱하면 $a + 2 = 6$ 이 되고, 따라서 $a = 4$ 입니다.

$y$ 좌표를 비교하면: $\frac{b + 4}{3} = 3$

양변에 $3$ 을 곱하면 $b + 4 = 9$ 가 되고, 따라서 $b = 5$ 입니다.

step3. 최종 정답 도출

이제 구한 $a$ 와 $b$ 의 값을 더해주면 됩니다.

$a + b = 4 + 5 = 9$

따라서 정답은 9가 되어 4번 선지가 정답입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 내분점의 좌표를 식으로 나타내기

선분 $A B$ 를 $1 : 2$ 로 내분하는 점의 좌표는

$(\frac{1 \cdot a + 2 \cdot 1}{1 + 2}, \frac{1 \cdot b + 2 \cdot 2}{1 + 2}) = (\frac{a + 2}{3}, \frac{b + 4}{3})$

step2. $a$ 와 $b$ 의 값 구하기

이 점이 $(2, 3)$ 과 같으므로

$\frac{a + 2}{3} = 2 ⟹ a + 2 = 6 ⟹ a = 4$

$\frac{b + 4}{3} = 3 ⟹ b + 4 = 9 ⟹ b = 5$

step3. 최종 정답 도출

$∴ a + b = 4 + 5 = 9$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

내분점 공식에서 $m$ 과 $n$ 을 곱하는 순서를 헷갈려 $x_{1}$ 과 $x_{2}$ 의 위치를 반대로 대입할 수 있습니다.
내분점의 좌표가 주어졌을 때, 이를 방정식으로 세워 미지수를 구하는 과정을 낯설어할 수 있습니다.

🔑 돌파구

내분점 공식은 '크로스(엇갈려) 곱하기'로 기억하면 실수를 줄일 수 있습니다. 즉, 비율 $1 : 2$ 에서 $1$ 은 점 $B$ 의 좌표에, $2$ 는 점 $A$ 의 좌표에 곱해줍니다.
구해진 내분점의 식을 주어진 좌표 $(2, 3)$ 과 같다고 두고, $x$ 좌표와 $y$ 좌표 각각에 대한 일차방정식을 풀어보세요.

2024년 9월 학력평가 고1 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 평면좌표 / 내분점
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구