수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 꼭짓점의 위치와 q의 값 구하기

함수 $f(x)=(x-p{)}^2+q$는 아래로 볼록하고, 꼭짓점이 $(p,q)$인 이차함수예요.

조건 (가)와 (나)를 보면, 구간 $[0,3]$과 $[0,5]$에서 모두 최솟값이 $m$으로 같아요.

만약 꼭짓점의 $x$좌표인 $p$가 3보다 크다면, 구간이 $[0,5]$로 넓어질 때 최솟값이 더 작아지게 됩니다. 따라서 두 구간에서 최솟값이 같으려면 꼭짓점이 좁은 구간인 $[0,3]$ 안에 포함되어야 해요.

즉, $0<p\le 3$이어야 하고, 이때 최솟값은 꼭짓점의 $y$좌표인 $q$가 됩니다.

따라서 $q=m$이라는 것을 알 수 있어요.

이제 함수는 $f(x)=(x-p{)}^2+m$이 됩니다.

step2. 대칭축 p의 위치에 따라 경우 나누기

이제 조건 (가)의 최댓값을 이용해 $p$를 구해볼게요.

구간 $[0,3]$에서 최댓값은 대칭축 $x=p$에서 더 멀리 떨어진 양 끝점($x=0$ 또는 $x=3$)에서 발생해요.

구간의 중점인 $x=1.5$를 기준으로 $p$의 위치를 두 가지로 나누어 생각해야 합니다.

대칭축의 위치에 따라 최댓값을 가지는 $x$의 위치가 달라지므로, 반드시 경우를 나누어 확인해야 해요.

경우 1) $0<p\le 1.5$일 때

대칭축이 $x=0$에 더 가까우므로, 최댓값은 $x=3$에서 가집니다.

$f(3)=(3-p{)}^2+m=m+4$

$(3-p{)}^2=4$

$3-p=\pm 2$

$p=1$ 또는 $p=5$

우리가 가정한 범위에 의해 $p=1$이 됩니다.

경우 2) $1.5<p\le 3$일 때

대칭축이 $x=3$에 더 가까우므로, 최댓값은 $x=0$에서 가집니다.

$f(0)=(0-p{)}^2+m=m+4$

$p^2=4$

$p=\pm 2$

$p>0$이므로 $p=2$가 됩니다.

step3. 조건 (나)를 이용하여 올바른 경우 찾기

이제 구한 $p$의 값들을 조건 (나)에 적용하여 자연수 $m$을 찾아볼게요.

경우 1) $p=1$일 때

$f(x)=(x-1{)}^2+m$

구간 $[0,5]$에서 대칭축 $x=1$에서 가장 먼 곳은 $x=5$이므로, 최댓값은 $f(5)$입니다.

$f(5)=(5-1{)}^2+m=16+m$

조건 (나)에서 최댓값이 $4m$이라고 했으므로,

$16+m=4m$

$3m=16⟹m=\frac{16}{3}$

그런데 문제에서 $m$은 자연수라고 했으므로, 이 경우는 조건에 맞지 않아요.

경우 2) $p=2$일 때

$f(x)=(x-2{)}^2+m$

구간 $[0,5]$에서 대칭축 $x=2$에서 가장 먼 곳은 $x=5$이므로, 최댓값은 $f(5)$입니다.

$f(5)=(5-2{)}^2+m=9+m$

조건 (나)에서 최댓값이 $4m$이라고 했으므로,

$9+m=4m$

$3m=9⟹m=3$

$m=3$은 자연수이므로 모든 조건을 완벽하게 만족합니다!

따라서 $p=2,q=3,m=3$이 됩니다.

step4. f(10)의 값 구하기

이제 함수 $f(x)$가 완전히 결정되었어요.

$f(x)=(x-2{)}^2+3$

우리가 구해야 하는 값은 $f(10)$이므로, $x=10$을 대입해 줍니다.

$f(10)=(10-2{)}^2+3=8^2+3=64+3=67$

step1. 꼭짓점의 위치와 q의 값 구하기

$f(x)=(x-p{)}^2+q$

$[0,3]$과 $[0,5]$에서 최솟값이 $m$으로 동일

--- 꼭짓점이 $[0,3]$ 내에 존재해야 하므로

$0<p\le 3$, $q=m$

$f(x)=(x-p{)}^2+m$

step2. 대칭축 p의 위치에 따라 경우 나누기

i) $0<p\le 1.5$일 때

최댓값은 $f(3)=(3-p{)}^2+m=m+4$

$(3-p{)}^2=4⟹p=1$   --- 범위 만족

ii) $1.5<p\le 3$일 때

최댓값은 $f(0)=p^2+m=m+4$

$p^2=4⟹p=2$   --- 범위 만족

step3. 조건 (나)를 이용하여 올바른 경우 찾기

i) $p=1$일 때

$f(x)=(x-1{)}^2+m$

$[0,5]$에서 최댓값 $f(5)=16+m=4m⟹m=16/3$

--- $m$이 자연수라는 조건에 모순

ii) $p=2$일 때

$f(x)=(x-2{)}^2+m$

$[0,5]$에서 최댓값 $f(5)=9+m=4m⟹m=3$   --- 자연수 조건 만족

따라서 $p=2,q=3$

step4. f(10)의 값 구하기

$f(x)=(x-2{)}^2+3$

$f(10)=8^2+3=67$

$\therefore 67$