2024년 9월 학력평가 수학 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]

미지수를 도입하여 직선의 방정식을 세우고, 대각선이 직교하는 사각형의 넓이 공식을 이용하여 미지수를 구한 뒤, 평행한 두 직선 사이의 거리를 계산합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 직선 $l_{1}$ 의 절편을 구하고, 평행 조건을 이용하여 직선 $l_{2}$ 의 방정식을 미지수 $k$ 로 나타냅니다.

step2. 사각형 $A D C B$ 의 두 대각선이 $x$ 축, $y$ 축 위에 있어 직교함을 이용하여 넓이를 $k$ 에 대한 식으로 나타내고 $k$ 의 값을 구합니다.

step3. 완성된 두 직선의 방정식을 이용하여 두 직선 사이의 거리 $d$ 를 구하고 $d^{2}$ 을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 대각선이 직교하는 사각형의 넓이 : 두 대각선의 길이가 각각 $a, b$ 이고 서로 수직으로 만나는 사각형의 넓이는 $\frac{1}{2} a b$ 입니다.

- 평행한 두 직선 사이의 거리 : 평행한 두 직선 $a x + b y + c = 0$ 과 $a x + b y + c^{'} = 0$ 사이의 거리는 $\frac{| c - c^{'} |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ 입니다.

5. 구체적 풀이

사각형

A D C B

의 꼭짓점들이 모두

x

축 또는

y

축 위에 있다는 점에 주목해 보세요. 이는 두 대각선이 서로 수직이라는 뜻이므로, 사각형의 넓이를 아주 쉽게 구할 수 있는 열쇠가 됩니다.

step1. 두 직선의 절편 구하기

먼저 직선 $l_{1} : x - 2 y - 2 = 0$ 의 $x$ 절편과 $y$ 절편을 구해볼게요.

$y = 0$ 을 대입하면 $x = 2$ 이므로 $A (2, 0)$ 입니다.

$x = 0$ 을 대입하면 $y = - 1$ 이므로 $B (0, - 1)$ 입니다.

이제 직선 $l_{2}$ 의 방정식을 세워봅시다. $l_{2}$ 는 $l_{1}$ 과 평행하므로 $x$ 와 $y$ 의 계수비가 같아야 해요. 따라서 $l_{2} : x - 2 y + k = 0$ 으로 둘 수 있습니다.

문제에서 $l_{2}$ 의 $y$ 절편이 양수라고 했죠? $x = 0$ 을 대입하면 $y = \frac{k}{2}$ 인데, 이 값이 양수여야 하므로 $k > 0$ 이라는 조건을 얻을 수 있습니다.

$l_{2}$ 의 $x$ 절편은 $y = 0$ 을 대입하면 $x = - k$ 이므로 $C (- k, 0)$ 이고, $y$ 절편은 방금 구한 대로 $D (0, \frac{k}{2})$ 가 됩니다.

step2. 사각형의 넓이를 이용하여 미지수 k 구하기

이제 사각형 $A D C B$ 의 넓이가 $25$ 라는 조건을 이용할 차례입니다.

네 꼭짓점 $A, B, C, D$ 가 모두 좌표축 위에 있으므로, 대각선 $A C$ 는 $x$ 축 위에 있고 대각선 $B D$ 는 $y$ 축 위에 있습니다. 즉, 두 대각선이 서로 수직으로 만납니다.

대각선이 직교하는 사각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \times (두 대각선의 길이의 곱)$ 으로 쉽게 구할 수 있어요.

대각선 $A C$ 의 길이는 점 $A$ 의 $x$ 좌표에서 점 $C$ 의 $x$ 좌표를 빼면 되므로 $2 - (- k) = k + 2$ 입니다.

대각선 $B D$ 의 길이는 점 $D$ 의 $y$ 좌표에서 점 $B$ 의 $y$ 좌표를 빼면 되므로 $\frac{k}{2} - (- 1) = \frac{k + 2}{2}$ 입니다.

선분의 길이를 구할 때는 항상 큰 좌표에서 작은 좌표를 빼야 양수가 나옵니다. 좌표의 부호에 주의하세요.

따라서 사각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \times (k + 2) \times \frac{k + 2}{2} = \frac{(k + 2)^{2}}{4}$ 가 됩니다.

이 넓이가 $25$ 라고 했으므로, $\frac{(k + 2)^{2}}{4} = 25$ 입니다.

양변에 $4$ 를 곱하면 $(k + 2)^{2} = 100$ 이 되고, $k > 0$ 이므로 $k + 2 = 10$ 이 되어 $k = 8$ 임을 알 수 있습니다.

결과적으로 직선 $l_{2}$ 의 방정식은 $x - 2 y + 8 = 0$ 이 됩니다.

step3. 두 직선 사이의 거리 구하기

마지막으로 두 직선 $l_{1} : x - 2 y - 2 = 0$ 과 $l_{2} : x - 2 y + 8 = 0$ 사이의 거리 $d$ 를 구해봅시다.

평행한 두 직선 사이의 거리 공식을 이용하면 아주 간단합니다.

$d = \frac{| 8 - (- 2) |}{\sqrt{1^{2} + (- 2)^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{10}{\sqrt{5}}$ 가 됩니다.

유리화를 하면 $d = 2 \sqrt{5}$ 입니다.

우리가 구해야 하는 값은 $d^{2}$ 이므로, $(2 \sqrt{5})^{2} = 4 \times 5 = 20$ 이 최종 정답이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 두 직선의 절편 구하기

$l_{1} : x - 2 y - 2 = 0 \Rightarrow A (2, 0), B (0, - 1)$

$l_{2} ∥ l_{1} \Rightarrow l_{2} : x - 2 y + k = 0 (k > 0)$

$C (- k, 0), D (0, \frac{k}{2})$

step2. 사각형의 넓이를 이용하여 미지수 k 구하기

사각형 $A D C B$ 의 두 대각선 $A C ⟂ B D$ --- $x$ 축, $y$ 축 위에 있으므로

$A C = 2 - (- k) = k + 2$

$B D = \frac{k}{2} - (- 1) = \frac{k + 2}{2}$

넓이 $S = \frac{1}{2} \times A C \times B D = \frac{1}{2} (k + 2) \frac{k + 2}{2} = \frac{(k + 2)^{2}}{4} = 25$

$(k + 2)^{2} = 100 \Rightarrow k = 8 (∵ k > 0)$

$∴ l_{2} : x - 2 y + 8 = 0$

step3. 두 직선 사이의 거리 구하기

$l_{1} : x - 2 y - 2 = 0$ 과 $l_{2} : x - 2 y + 8 = 0$ 사이의 거리 $d$

$d = \frac{| 8 - (- 2) |}{\sqrt{1^{2} + (- 2)^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2 \sqrt{5}$

$∴ d^{2} = 20$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

사각형 $A D C B$ 의 넓이를 구하기 위해 삼각형 두 개로 쪼개거나 복잡한 좌표 공식을 떠올리려다 계산이 꼬일 수 있습니다.
평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 공식을 잊어버렸거나, 점과 직선 사이의 거리 공식을 적용할 때 점을 잘못 선택하여 계산 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

사각형의 두 대각선 $A C$ 와 $B D$ 가 각각 $x$ 축, $y$ 축 위에 있어 서로 수직이라는 점을 파악하고, 대각선이 직교하는 사각형의 넓이 공식을 활용해야 합니다.
평행한 두 직선 $a x + b y + c = 0$ 과 $a x + b y + c^{'} = 0$ 사이의 거리는 $\frac{| c - c^{'} |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ 임을 기억하거나, 한 직선 위의 쉬운 점(예: 절편)을 잡아 다른 직선까지의 거리를 구하면 됩니다.
도형 문제에서는 좌표축 위에 있는 선분들이 주는 기하학적 의미(수직, 평행 등)를 먼저 살피는 습관을 들이면 좋습니다.

2024년 9월 학력평가 고1 수학 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 직선의 방정식 / 평행한 두 직선 사이의 거리 / 도형의 넓이
난이도	중

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구