2024년 9월 학력평가 수학 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]

30. 두 실수

a, b

에 대하여 이차함수

f (x) = a (x - b)^{2}

이 있다. 중심이 함수

y = f (x)

의 그래프 위에 있고 직선

y = \frac{4}{3} x

와

x

축에 동시에 접하는 서로 다른 원의 개수는 3이다. 이 세 원의 중심의

x

좌표를 각각

x_{1}, x_{2}, x_{3}

이라 할 때, 세 실수

x_{1}, x_{2}, x_{3}

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가)

x_{1} \times x_{2} \times x_{3} > 0

(나) 세 점

(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, f (x_{2})), (x_{3}, f (x_{3}))

을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의

y

좌표는

- \frac{7}{3}

이다.

f (4) \times f (6)

의 값을 구하시오. [4점]

이 문제는 두 직선에 동시에 접하는 원의 중심의 자취를 파악하고, 이차함수와의 교점 개수 및 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

f (x) = a (x - b)^{2}

(

a, b

는 실수)
- 원의 중심이

y = f (x)

의 그래프 위에 있음
- 원이 직선

y = \frac{4}{3} x

와

x

축(

y = 0

)에 동시에 접함
- 조건을 만족하는 서로 다른 원의 개수는 3개
- 세 원의 중심의

x

좌표

x_{1}, x_{2}, x_{3}

에 대하여

x_{1} \times x_{2} \times x_{3} > 0

- 세 점

(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, f (x_{2})), (x_{3}, f (x_{3}))

을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의

y

좌표는

- \frac{7}{3}

이 문제는 두 직선에 동시에 접하는 원의 중심의 자취를 구한 뒤, 이차함수와의 교점 개수 조건을 통해 함수식을 완성하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $x$ 축과 $y = \frac{4}{3} x$ 에 동시에 접하는 원의 중심이 지나는 직선의 방정식을 구합니다.

step2. 이차함수와 두 직선의 교점이 3개가 되기 위한 조건을 찾아 $a, b$ 의 관계식을 세웁니다.

step3. 두 가지 경우로 나누어 조건 (가)를 만족하는 $a$ 의 부호를 판별합니다.

step4. 조건 (나)의 무게중심 $y$ 좌표를 이용하여 $a, b$ 의 값을 확정합니다.

step5. 완성된 $f (x)$ 를 이용하여 최종 정답을 계산합니다.

- 점과 직선 사이의 거리 : 점 $(x_{1}, y_{1})$ 과 직선 $A x + B y + C = 0$ 사이의 거리는 $\frac{| A x_{1} + B y_{1} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ 입니다.

- 이차방정식의 판별식 : 이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 에서 판별식 $D = b^{2} - 4 a c = 0$ 이면 중근을 가지며, 이는 그래프가 접함을 의미합니다.

- 이차방정식의 근과 계수의 관계 : $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 두 근 $α, β$ 에 대해 $α + β = - \frac{b}{a}$ , $α β = \frac{c}{a}$ 입니다.

원이 두 직선에 동시에 접한다면, 원의 중심은 두 직선에서 같은 거리에 있어야 해요. 즉, 중심은 두 직선이 이루는 각의 이등분선 위에 있게 되죠. 먼저 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 이 이등분선의 방정식을 구하는 것부터 시작해볼까요?

step1. 원의 중심이 지나는 직선 구하기

원의 중심을 $(x, y)$ 라고 해볼게요. 이 점은 $x$ 축(즉, $y = 0$ )과 직선 $y = \frac{4}{3} x$ (정리하면 $4 x - 3 y = 0$ )에서 같은 거리에 있어야 해요.

점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하면,

$x$ 축까지의 거리는 $| y |$ 이고,

$4 x - 3 y = 0$ 까지의 거리는 $\frac{| 4 x - 3 y |}{\sqrt{4^{2} + (- 3)^{2}}} = \frac{| 4 x - 3 y |}{5}$ 가 됩니다.

이 둘이 같아야 하므로 $5 | y | = | 4 x - 3 y |$ 라는 식을 얻을 수 있어요.

절댓값을 풀어주면 두 가지 경우가 나옵니다.

첫째, $5 y = 4 x - 3 y$ 이면 $8 y = 4 x$ 가 되어 $y = \frac{1}{2} x$ 가 됩니다.

둘째, $- 5 y = 4 x - 3 y$ 이면 $- 2 y = 4 x$ 가 되어 $y = - 2 x$ 가 됩니다.

따라서 조건을 만족하는 원의 중심은 반드시 직선 $y = \frac{1}{2} x$ 또는 $y = - 2 x$ 위에 있어야 합니다.

step2. 이차함수와 두 직선의 교점 분석

문제에서 원의 중심이 $y = f (x)$ 위에도 있다고 했어요. 그리고 조건을 만족하는 원이 딱 3개라고 했죠.

이 말은 이차함수 $y = a (x - b)^{2}$ 과 두 직선 $y = \frac{1}{2} x, y = - 2 x$ 가 만나는 교점이 총 3개라는 뜻이에요.

이차함수와 하나의 직선은 최대 2개의 점에서 만날 수 있어요. 교점이 총 3개가 되려면, 반드시 한 직선과는 접하고(교점 1개), 다른 직선과는 서로 다른 두 점에서 만나야(교점 2개) 합니다.

이차함수 $a (x - b)^{2} = m x$ 라고 두고 식을 정리하면,

$a x^{2} - (2 a b + m) x + a b^{2} = 0$ 이 됩니다.

접할 조건은 판별식 $D = 0$ 이므로,

$D = (2 a b + m)^{2} - 4 a (a b^{2}) = 4 a^{2} b^{2} + 4 a b m + m^{2} - 4 a^{2} b^{2} = m (4 a b + m) = 0$ 이 되어야 해요.

$m \neq 0$ 이므로 $4 a b + m = 0$ , 즉 $a b = - \frac{m}{4}$ 이 성립해야 합니다.

step3. 조건 (가)를 이용한 경우의 수 판별

이제 어느 직선에 접하는지 두 가지 경우로 나누어 볼게요.

[경우 1] $y = \frac{1}{2} x$ 에 접하는 경우 ( $m = \frac{1}{2}$ )

$a b = - \frac{1}{8}$ 이 됩니다.

접점의 $x$ 좌표 $x_{1}$ 은 중근이므로 $x_{1} = \frac{2 a b + m}{2 a} = \frac{- 1 / 4 + 1 / 2}{2 a} = \frac{1}{8 a}$ 입니다.

나머지 두 교점 $x_{2}, x_{3}$ 는 $y = - 2 x$ 와 만나는 점이므로, 근과 계수의 관계에서 두 근의 곱 $x_{2} x_{3} = \frac{a b^{2}}{a} = b^{2}$ 입니다.

조건 (가)에서 $x_{1} x_{2} x_{3} > 0$ 이어야 하므로, $\frac{b^{2}}{8 a} > 0$ 이 되어 $a > 0$ 임을 알 수 있어요.

[경우 2] $y = - 2 x$ 에 접하는 경우 ( $m = - 2$ )

$a b = \frac{1}{2}$ 이 됩니다.

접점의 $x$ 좌표 $x_{1} = \frac{2 a b + m}{2 a} = \frac{1 - 2}{2 a} = - \frac{1}{2 a}$ 입니다.

나머지 두 교점 $x_{2}, x_{3}$ 는 $y = \frac{1}{2} x$ 와 만나는 점이므로, 역시 $x_{2} x_{3} = b^{2}$ 입니다.

조건 (가)에서 $x_{1} x_{2} x_{3} > 0$ 이어야 하므로, $- \frac{b^{2}}{2 a} > 0$ 이 되어 $a < 0$ 임을 알 수 있어요.

step4. 조건 (나)를 이용한 a, b 값 확정

이제 조건 (나)의 무게중심 $y$ 좌표가 $- \frac{7}{3}$ 임을 이용해볼게요.

교점의 $y$ 좌표를 구할 때 복잡한 이차함수 대신, 교점이 위치한 직선의 방정식을 이용하면 훨씬 계산이 쉽습니다.

[경우 2]를 먼저 계산해볼게요. ( $a < 0, a b = \frac{1}{2}$ )

$x_{1}$ 은 $y = - 2 x$ 위의 점이므로 $y_{1} = - 2 x_{1} = - 2 (- \frac{1}{2 a}) = \frac{1}{a}$ 입니다.

$x_{2}, x_{3}$ 는 $y = \frac{1}{2} x$ 위의 점이므로 $y_{2} + y_{3} = \frac{1}{2} (x_{2} + x_{3})$ 입니다.

근과 계수의 관계에서 $x_{2} + x_{3} = \frac{2 a b + 1 / 2}{a} = \frac{1 + 1 / 2}{a} = \frac{3}{2 a}$ 이므로,

$y_{2} + y_{3} = \frac{1}{2} (\frac{3}{2 a}) = \frac{3}{4 a}$ 가 됩니다.

세 $y$ 좌표의 합은 $y_{1} + y_{2} + y_{3} = \frac{1}{a} + \frac{3}{4 a} = \frac{7}{4 a}$ 이고,

무게중심의 $y$ 좌표는 이를 3으로 나눈 $\frac{7}{12 a}$ 입니다.

이 값이 $- \frac{7}{3}$ 이 되어야 하므로, $\frac{7}{12 a} = - \frac{7}{3} ⟹ 12 a = - 3 ⟹ a = - \frac{1}{4}$ 이 됩니다.

$a < 0$ 조건도 만족하네요! $a b = \frac{1}{2}$ 이므로 $b = - 2$ 가 됩니다.

(참고로 [경우 1]에서 같은 방법으로 계산하면 $a = - \frac{73}{112}$ 이 나와서 $a > 0$ 이라는 조건에 모순이 발생하여 탈락하게 됩니다.)

step5. 최종 정답 계산

구해낸 $a, b$ 값을 대입하면 이차함수 식은 다음과 같이 완성됩니다.

$f (x) = - \frac{1}{4} (x + 2)^{2}$

이제 문제에서 요구한 $f (4) \times f (6)$ 의 값을 계산해볼게요.

$f (4) = - \frac{1}{4} (4 + 2)^{2} = - \frac{1}{4} \times 36 = - 9$

$f (6) = - \frac{1}{4} (6 + 2)^{2} = - \frac{1}{4} \times 64 = - 16$

따라서 $f (4) \times f (6) = (- 9) \times (- 16) = 144$ 가 됩니다.

step1. 중심의 자취

$| y | = \frac{| 4 x - 3 y |}{5} ⟹ 5 | y | = | 4 x - 3 y |$

$∴ y = \frac{1}{2} x$ 또는 $y = - 2 x$

step2. 접할 조건

$a (x - b)^{2} = m x ⟹ a x^{2} - (2 a b + m) x + a b^{2} = 0$

$D = m (4 a b + m) = 0 ⟹ a b = - \frac{m}{4}$

step3. 경우의 수 판별

Case 1: $m = \frac{1}{2}$ 접함 $⟹ a b = - \frac{1}{8}$

$x_{1} = \frac{1}{8 a}, x_{2} x_{3} = b^{2} ⟹ x_{1} x_{2} x_{3} = \frac{b^{2}}{8 a} > 0 ⟹ a > 0$

Case 2: $m = - 2$ 접함 $⟹ a b = \frac{1}{2}$

$x_{1} = - \frac{1}{2 a}, x_{2} x_{3} = b^{2} ⟹ x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{b^{2}}{2 a} > 0 ⟹ a < 0$

step4. 무게중심 조건

Case 2 확인 ( $a < 0$ ):

$y_{1} = - 2 x_{1} = \frac{1}{a}$

$y_{2} + y_{3} = \frac{1}{2} (x_{2} + x_{3}) = \frac{1}{2} (\frac{2 a b + 1 / 2}{a}) = \frac{3}{4 a}$

$\frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3} = \frac{7}{12 a} = - \frac{7}{3} ⟹ a = - \frac{1}{4}, b = - 2$

step5. 최종 계산

$f (x) = - \frac{1}{4} (x + 2)^{2}$

$f (4) \times f (6) = (- 9) \times (- 16) = 144$

🔒 막힌 이유

두 직선에 동시에 접하는 원의 중심이 어떤 자취를 그리는지 파악하지 못해 시작조차 못할 수 있습니다.
이차함수와 두 직선의 교점이 3개라는 조건에서, '하나는 접하고 하나는 두 점에서 만난다'는 기하학적 상황을 식으로 연결하지 못할 수 있습니다.
세 점의 $y$ 좌표의 합을 구할 때, 이차함수 식 $f (x)$ 에 대입하여 계산하려다 식이 너무 복잡해져서 계산 실수를 하거나 포기할 수 있습니다.

🔑 돌파구

두 직선에 동시에 접하는 원의 중심은 두 직선이 이루는 각의 이등분선 위에 있음을 떠올리고, 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 중심이 지나는 직선의 방정식을 먼저 구해보세요.
교점의 개수는 연립방정식의 실근의 개수와 같으므로, 판별식 $D = 0$ 과 $D > 0$ 인 상황으로 나누어 접근하세요.
교점은 직선 위의 점이기도 하므로, 복잡한 이차함수 식 대신 구해둔 1차 함수(직선) 식에 $x$ 좌표를 대입하여 $y$ 좌표의 합을 구하면 훨씬 간단합니다.
(확장 팁: 교점의 좌표를 다룰 때는 항상 차수가 낮은 식을 적극적으로 활용하세요.)

2024년 9월 학력평가 고1 수학 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학(상) · 이차함수 / 원의 방정식 / 점과 직선 사이의 거리 / 무게중심
난이도	최상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구