2024년 9월 학력평가 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 두 삼각형이 한 각을 공유할 때의 넓이 비 성질을 이용하여 교점의 위치를 파악하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 선분 $A B$ 를 $2 : 1$ 로 내분하는 점 $P$ 의 좌표를 구합니다.

step2. 직선 $P C$ 가 선분 $O A$ 와 만나는 점을 $Q$ 라 할 때, 넓이 조건을 이용하여 점 $Q$ 의 위치(내분비)를 알아냅니다.

step3. 점 $Q$ 의 좌표를 구하고, 세 점 $C, Q, P$ 가 한 직선 위에 있음을 이용하여 $a$ 의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 선분의 내분점 좌표 : 두 점 $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ 를 이은 선분을 $m : n$ 으로 내분하는 점의 좌표는 $(\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n})$ 입니다.

- 한 각을 공유하는 두 삼각형의 넓이 비 : $△ A D E$ 와 $△ A B C$ 가 $∠ A$ 를 공유할 때, 두 삼각형의 넓이 비는 $\frac{△ A D E}{△ A B C} = \frac{A D}{A B} \times \frac{A E}{A C}$ 가 성립합니다.

5. 구체적 풀이

직선

P C

가 삼각형

A O B

의 넓이를 이등분한다고 해서 무작정 직선의 방정식을 세우고 교점을 구하려고 하면 계산이 너무 복잡해집니다. 직선

P C

가 선분

A B

위의 점

P

를 지나므로, 잘려진 삼각형

A Q P

와 전체 삼각형

A O B

가 각

A

를 공유한다는 점에 주목하세요. 넓이 비 성질을 이용하면 교점

Q

가 선분

O A

를 몇 대 몇으로 나누는지 쉽게 알 수 있습니다.

step1. 점 $P$ 의 좌표 구하기

점 $P$ 는 $A (- 8, a)$ 와 $B (7, 3)$ 을 이은 선분 $A B$ 를 $2 : 1$ 로 내분하는 점입니다.

내분점 공식을 사용하면,

$x$ 좌표: $\frac{2 \times 7 + 1 \times (- 8)}{2 + 1} = \frac{14 - 8}{3} = 2$

$y$ 좌표: $\frac{2 \times 3 + 1 \times a}{2 + 1} = \frac{a + 6}{3}$

따라서 점 $P$ 의 좌표는 $(2, \frac{a + 6}{3})$ 입니다.

step2. 점 $Q$ 의 위치 파악하기

직선 $P C$ 가 선분 $O A$ 와 만나는 점을 $Q$ 라고 합시다.

직선 $P C$ 가 삼각형 $A O B$ 의 넓이를 이등분하므로, 삼각형 $A Q P$ 의 넓이는 삼각형 $A O B$ 넓이의 절반이 되어야 합니다.

두 삼각형 $A Q P$ 와 $A O B$ 는 각 $A$ 를 공유하므로, 넓이의 비는 이웃하는 두 변의 길이의 곱의 비와 같습니다.

즉, $\frac{△ A Q P}{△ A O B} = \frac{A Q}{A O} \times \frac{A P}{A B} = \frac{1}{2}$ 입니다.

이때 점 $P$ 는 선분 $A B$ 를 $2 : 1$ 로 내분하므로, $\frac{A P}{A B} = \frac{2}{3}$ 입니다.

이를 대입하면,

$\frac{A Q}{A O} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$

$\frac{A Q}{A O} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

이 결과는 점 $Q$ 가 선분 $A O$ 를 $3 : 1$ 로 내분한다는 뜻입니다. $1 : 3$ 으로 헷갈리지 않도록 주의하세요.

step3. 점 $Q$ 의 좌표와 $a$ 의 값 구하기

점 $Q$ 는 $A (- 8, a)$ 와 $O (0, 0)$ 을 이은 선분 $A O$ 를 $3 : 1$ 로 내분하는 점입니다.

$x$ 좌표: $\frac{3 \times 0 + 1 \times (- 8)}{3 + 1} = - 2$

$y$ 좌표: $\frac{3 \times 0 + 1 \times a}{3 + 1} = \frac{a}{4}$

따라서 점 $Q$ 의 좌표는 $(- 2, \frac{a}{4})$ 입니다.

이제 세 점 $C (- 6, 0)$ , $Q (- 2, \frac{a}{4})$ , $P (2, \frac{a + 6}{3})$ 가 모두 직선 $P C$ 위에 있으므로, 선분 $C Q$ 의 기울기와 선분 $C P$ 의 기울기가 같아야 합니다.

$C Q$ 의 기울기 = $\frac{\frac{a}{4} - 0}{- 2 - (- 6)} = \frac{\frac{a}{4}}{4} = \frac{a}{16}$

$C P$ 의 기울기 = $\frac{\frac{a + 6}{3} - 0}{2 - (- 6)} = \frac{\frac{a + 6}{3}}{8} = \frac{a + 6}{24}$

두 기울기가 같으므로,

$\frac{a}{16} = \frac{a + 6}{24}$

양변에 48을 곱하면,

$3 a = 2 (a + 6)$

$3 a = 2 a + 12$

$a = 12$

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 $P$ 의 좌표 구하기

$P = (\frac{2 (7) + 1 (- 8)}{3}, \frac{2 (3) + 1 (a)}{3}) = (2, \frac{a + 6}{3})$

step2. 점 $Q$ 의 위치 파악하기

직선 $P C$ 와 선분 $O A$ 의 교점을 $Q$ 라 하자.

$△ A Q P = \frac{1}{2} △ A O B$

--- 두 삼각형이 $∠ A$ 를 공유하므로

$\frac{A Q}{A O} \times \frac{A P}{A B} = \frac{1}{2}$

$P$ 가 $A B$ 를 $2 : 1$ 로 내분하므로 $\frac{A P}{A B} = \frac{2}{3}$

$\frac{A Q}{A O} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2} ⟹ \frac{A Q}{A O} = \frac{3}{4}$

--- 즉, $Q$ 는 $A O$ 를 $3 : 1$ 로 내분하는 점

step3. 점 $Q$ 의 좌표와 $a$ 의 값 구하기

$Q = (\frac{3 (0) + 1 (- 8)}{4}, \frac{3 (0) + 1 (a)}{4}) = (- 2, \frac{a}{4})$

세 점 $C (- 6, 0), Q (- 2, \frac{a}{4}), P (2, \frac{a + 6}{3})$ 가 한 직선 위에 있으므로

$m_{C Q} = m_{C P}$

$\frac{\frac{a}{4} - 0}{- 2 - (- 6)} = \frac{\frac{a + 6}{3} - 0}{2 - (- 6)}$

$\frac{a}{16} = \frac{a + 6}{24}$

$3 a = 2 a + 12$

$∴ a = 12$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

직선 $P C$ 의 방정식을 세우고 선분 $O A$ 의 방정식과 연립하여 교점 $Q$ 의 좌표를 $a$ 에 대한 복잡한 식으로 구한 뒤, 신발끈 공식 등으로 넓이를 계산하려고 하면 식이 너무 복잡해져서 계산 실수를 하거나 포기하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

두 삼각형이 한 각을 공유할 때 넓이의 비는 이웃하는 두 변의 길이의 곱의 비와 같다는 기하학적 성질을 활용하세요.
이를 통해 교점 $Q$ 가 선분 $O A$ 를 몇 대 몇으로 내분하는지 먼저 알아내면 계산이 훨씬 간단해집니다.
(팁: 넓이 이등분 문제에서 꼭짓점이나 변 위의 점을 지나는 직선이 나오면, 넓이 비 = 변의 길이 비 성질을 먼저 떠올려보세요.)

2024년 9월 학력평가 고1 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 평면좌표 / 직선의 방정식 / 삼각형의 넓이
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구