수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 근과 계수의 관계 적용하기

이차방정식 $x^2-x+k=0$의 두 근이 $\alpha ,\beta$라고 했어요.

이차방정식의 두 근이 주어지면 가장 먼저 근과 계수의 관계를 이용해 합과 곱을 구해두는 것이 좋아요.

근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합과 곱은 다음과 같습니다.

$\alpha +\beta =-\frac{-1}{1}=1$

$\alpha \beta =\frac{k}{1}=k$

step2. 곱셈 공식의 변형 이용하기

문제에서 ${\alpha }^3+{\beta }^3=10$이라는 조건이 주어졌어요.

우리가 알고 있는 것은 $\alpha +\beta$와 $\alpha \beta$이므로, 이 식을 합과 곱의 형태로 바꿔주어야 해요.

이때 사용하는 것이 바로 곱셈 공식의 변형입니다.

${\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )$

공식에서 가운데 부호가 마이너스($-$)라는 점을 헷갈리지 않도록 조심하세요!

step3. 값 대입하여 $k$ 구하기

이제 step1에서 구한 $\alpha +\beta =1$과 $\alpha \beta =k$를 step2의 식에 대입해 볼게요.

$10=1^3-3·k·1$

$10=1-3k$

$3k=1-10$

$3k=-9$

따라서 $k=-3$이 됩니다.

step4. 조건 확인하기

문제에서 '서로 다른 두 근'을 갖는다고 했어요. 우리가 구한 $k=-3$이 이 조건을 만족하는지 판별식 $D$를 통해 확인해 볼까요?

$D=(-1{)}^2-4·1·(-3)=1+12=13>0$

판별식이 0보다 크므로 서로 다른 두 실근을 갖는 것이 맞네요!

따라서 정답은 $-3$입니다.

step1. 근과 계수의 관계 적용하기

$\alpha +\beta =1$

$\alpha \beta =k$

step2. 곱셈 공식의 변형 이용하기

${\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )$

step3. 값 대입하여 $k$ 구하기

$10=1^3-3·k·1$   --- $\alpha +\beta =1,\alpha \beta =k$ 대입

$10=1-3k$

$3k=-9$

$\therefore k=-3$

step4. 조건 확인하기

$D=(-1{)}^2-4(1)(-3)=13>0$   --- 서로 다른 두 근 조건 만족

$\therefore$ 정답은 ⑤