수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 조건 (가)를 이용하여 $f(x)$ 식 세우기

조건 (가)에서 $f(x)$를 $x^3-1$로 나눈 몫과 나머지가 같다고 했어요.

나누는 식 $x^3-1$이 3차식이므로, 나머지는 2차 이하의 다항식이어야 합니다. 이 나머지를 $R(x)$라고 해볼게요.

몫도 나머지와 같으므로 $R(x)$가 됩니다.

이를 나눗셈의 항등식으로 표현하면 다음과 같아요.

$f(x)=(x^3-1)R(x)+R(x)$

이 식을 $R(x)$로 묶어주면,

$f(x)=(x^3-1+1)R(x)=x^{3}R(x)$ 가 됩니다.

몫과 나머지가 같다고 해서 단순히 $Q(x)$로만 두고 차수를 고민하지 않으면 다음 단계로 넘어가기 어려워요. 나머지가 2차 이하라는 사실이 매우 중요합니다.

step2. 조건 (나)를 이용하여 $R(x)$의 형태 찾기

조건 (나)에서 $f(x)-x$가 $x^2+x+1$로 나누어떨어진다고 했어요.

우리가 step1에서 구한 $f(x)=x^{3}R(x)$를 대입해볼까요?

$f(x)-x=x^{3}R(x)-x$

여기서 $x^3$을 어떻게 처리할지가 관건이에요. $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ 이라는 인수분해 공식을 떠올려보세요.

$x^3=(x-1)(x^2+x+1)+1$ 로 바꿀 수 있죠? 이를 식에 대입해봅니다.

$f(x)-x=\{(x-1)(x^2+x+1)+1\}R(x)-x$

$=(x-1)(x^2+x+1)R(x)+R(x)-x$

이 전체 식이 $x^2+x+1$로 나누어떨어져야 해요.

앞부분인 $(x-1)(x^2+x+1)R(x)$는 이미 $x^2+x+1$을 인수로 가지고 있으니 나누어떨어집니다.

따라서 뒷부분인 $R(x)-x$ 도 $x^2+x+1$로 나누어떨어져야만 전체가 나누어떨어지게 됩니다.

그런데 $R(x)$는 2차 이하의 다항식이었죠? 그럼 $R(x)-x$도 2차 이하의 다항식이에요.

2차 이하의 다항식이 2차식인 $x^2+x+1$로 나누어떨어지려면, 몫은 상수여야 합니다. 이 상수를 $a$라고 하면,

$R(x)-x=a(x^2+x+1)$ 이라고 쓸 수 있어요.

정리하면 $R(x)=a(x^2+x+1)+x$ 가 됩니다.

step3. 나머지정리를 이용하여 상수 $a$ 구하기

이제 문제의 마지막 조건인 '$f(x)$를 $x-2$로 나눈 나머지가 72이다'를 사용할 차례예요.

나머지정리에 의해 $f(2)=72$ 라는 뜻이죠.

step1에서 구한 $f(x)=x^{3}R(x)$ 에 $x=2$를 대입해봅시다.

$f(2)=2^3·R(2)=8R(2)=72$

양변을 8로 나누면 $R(2)=9$ 가 됩니다.

이제 step2에서 구한 $R(x)=a(x^2+x+1)+x$ 에 $x=2$를 대입해서 $a$를 찾아볼게요.

$R(2)=a(2^2+2+1)+2=a(4+2+1)+2=7a+2$

$7a+2=9$ 이므로 $7a=7$, 즉 $a=1$ 입니다.

따라서 $R(x)=1·(x^2+x+1)+x=x^2+2x+1$ 이 완성됩니다.

step4. $f(1)$의 값 계산하기

우리가 최종적으로 구해야 하는 것은 $f(1)$의 값이에요.

$f(x)=x^{3}R(x)$ 이므로, $x=1$을 대입하면

$f(1)=1^3·R(1)=R(1)$ 이 됩니다.

$R(x)=x^2+2x+1$ 에 $x=1$을 대입하면,

$R(1)=1^2+2(1)+1=1+2+1=4$ 입니다.

따라서 $f(1)=4$ 가 됩니다.

step1. $f(x)$ 식 세우기

$f(x)=(x^3-1)R(x)+R(x)$ (단, $R(x)$는 2차 이하)

$f(x)=x^{3}R(x)$

step2. $R(x)$의 형태 찾기

$f(x)-x=x^{3}R(x)-x$

--- $x^3=(x-1)(x^2+x+1)+1$ 이므로

$=\{(x-1)(x^2+x+1)+1\}R(x)-x$

$=(x-1)(x^2+x+1)R(x)+R(x)-x$

이 식이 $x^2+x+1$로 나누어떨어지므로, $R(x)-x$도 $x^2+x+1$로 나누어떨어져야 함.

$R(x)-x=a(x^2+x+1)$

$\therefore R(x)=a(x^2+x+1)+x$

step3. 상수 $a$ 구하기

$f(2)=72⟹8R(2)=72⟹R(2)=9$

$R(2)=7a+2=9⟹a=1$

$\therefore R(x)=x^2+2x+1$

step4. $f(1)$ 계산

$f(1)=1^3·R(1)=1^2+2(1)+1=4$

$\therefore ④$