수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 삼차방정식 인수분해하기

주어진 방정식 $x^3+5x^2+(a-6)x-a=0$에서 미지수 $a$를 소거하기 위해 $x=1$을 대입해 봅니다.

$1^3+5·1^2+(a-6)·1-a=1+5+a-6-a=0$

식이 성립하므로, 이 삼차식은 $(x-1)$을 인수로 가집니다.

조립제법을 사용하여 인수분해하면,

$(x-1)(x^2+6x+a)=0$ 이 됩니다.

따라서 이 방정식의 근은 $x=1$과 이차방정식 $x^2+6x+a=0$의 두 근입니다.

미지수가 포함된 고차방정식은 미지수를 소거할 수 있는 $x$값을 찾아 인수분해하는 것이 문제 해결의 시작입니다.

step2. 이차방정식이 중근을 갖는 경우 확인하기

삼차방정식이 '서로 다른 실근 2개'를 가지려면, 전체적으로 중근 1개와 다른 실근 1개를 가져야 합니다.

첫 번째 방법은 뒤의 이차방정식 $x^2+6x+a=0$ 자체가 중근을 갖는 경우입니다.

이차방정식이 중근을 가질 조건은 판별식 $D=0$이므로, 짝수 공식을 사용하면

$D/4=3^2-a=9-a=0$

따라서 $a=9$ 입니다.

이때 이차방정식은 $x^2+6x+9=(x+3{)}^2=0$이 되어 $x=-3$이라는 중근을 갖습니다.

전체 근은 $x=1,-3$으로 서로 다른 실근이 2개가 맞습니다.

step3. 이차방정식의 근이 앞의 근과 겹치는 경우 확인하기

이차방정식이 중근을 갖는 경우만 찾고 끝내면 오답이 됩니다. 앞서 구한 근 $x=1$이 뒤의 이차방정식의 근이 되는 경우도 반드시 확인해야 합니다.

이차방정식 $x^2+6x+a=0$이 $x=1$을 근으로 갖는다면,

$1^2+6·1+a=0$

$7+a=0⟹a=-7$ 입니다.

이때 이차방정식은 $x^2+6x-7=(x-1)(x+7)=0$이 되어 근이 $x=1,-7$이 됩니다.

전체 근은 $x=1$ (중근), $x=-7$이 되어 역시 서로 다른 실근이 2개가 됩니다.

step4. 모든 $a$의 값의 합 구하기

조건을 만족하는 실수 $a$의 값은 $9$와 $-7$입니다.

따라서 모든 실수 $a$의 값의 합은 $9+(-7)=2$ 입니다.

step1. 삼차방정식 인수분해

$f(x)=x^3+5x^2+(a-6)x-a$ 라 하면

$f(1)=1+5+a-6-a=0$

조립제법에 의해 $(x-1)(x^2+6x+a)=0$

step2. 이차방정식이 중근을 가질 때

$x^2+6x+a=0$ 이 중근을 가지려면

$D/4=9-a=0⟹a=9$

--- (이때 근은 $x=1,-3$으로 2개)

step3. 이차방정식의 근이 $x=1$일 때

$x^2+6x+a=0$ 에 $x=1$ 대입

$1+6+a=0⟹a=-7$

--- (이때 근은 $x=1,-7$로 2개)

step4. 모든 $a$의 값의 합

$9+(-7)=2$

$\therefore ②$