수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 9월 학력평가 고1 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류수학 · 이차함수 / 방정식과 부등식 / 직선의 방정식
난이도중상

🔍 이해용 풀이

문제
19. 최고차항의 계수의 절댓값이 같은 두 이차함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 서로 다른 두 점 A, B에서 만나고, 직선 AB의 기울기는 −1이다. 두 함수 f(x), g(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, f(−1)+g(−1)의 값은? [4점]
(가) f(x)−g(x)=−4(x+3)(x−2)
(나) f(−3)+g(2)=5
① 4    ② 5    ③ 6    ④ 7    ⑤ 8

1. 문제의 요지

이 문제는 두 이차함수의 차이 함수를 통해 교점을 파악하고, 직선의 기울기 조건과 교점의 성질을 이용하여 함수식을 추론할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- y=f(x), y=g(x)는 최고차항의 계수의 절댓값이 같은 이차함수
- 두 함수의 그래프는 서로 다른 두 점 A, B에서 만남
- 직선 AB의 기울기는 −1
- f(x)−g(x)=−4(x+3)(x−2)
- f(−3)+g(2)=5

3. 풀이의 순서

이 문제는 두 함수의 차이 함수 f(x)−g(x)를 분석하여 교점을 찾고, 교점에서의 함숫값이 같다는 성질을 이용해 연립방정식을 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. f(x)−g(x) 식을 통해 두 함수의 교점의 x좌표를 구합니다.

step2. 직선 AB의 기울기 조건과 교점의 성질을 이용하여 f(−3)과 f(2)의 값을 구하기 위한 연립방정식을 세웁니다.

step3. 연립방정식을 풀어 f(−3)과 f(2)의 값을 구하고, 최고차항 계수 조건을 이용해 f(x)의 식을 완성합니다.

step4. 완성된 f(x) 식과 f(x)−g(x) 식을 이용하여 최종적으로 f(−1)+g(−1)의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 두 그래프의 교점 : 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프가 만나는 점의 x좌표는 방정식 f(x)=g(x), 즉 f(x)−g(x)=0의 실근과 같습니다.

- 직선의 기울기 : 좌표평면 위의 두 점 (x1,y1)과 (x2,y2)를 지나는 직선의 기울기는 y2−y1x2−x1 로 구합니다.

5. 구체적 풀이

문제에서 f(−3)+g(2)=5라는 조건을 보면 함수 기호가 달라서 복잡해 보일 수 있어요. 하지만 '두 함수가 만난다'는 것은 그 점에서 f(x)=g(x)가 성립한다는 뜻이랍니다. 조건 (가)를 통해 교점의 x좌표를 알아내면, g(2)를 f(2)로 슬쩍 바꿔치기해서 우리가 풀기 쉬운 모양으로 만들 수 있어요. 이것이 이 문제를 푸는 가장 중요한 열쇠랍니다!

step1. 교점의 x좌표 구하기

먼저 조건 (가)를 살펴볼게요. f(x)−g(x)=−4(x+3)(x−2) 라고 주어져 있어요.

두 그래프가 만나는 점에서는 f(x)=g(x)가 되므로, f(x)−g(x)=0이 성립해야 해요.

−4(x+3)(x−2)=0 을 만족하는 x의 값은 x=−3 또는 x=2 입니다.

따라서 두 점 A, B의 x좌표는 각각 −3과 2가 됩니다.

교점에서는 두 함수의 함숫값이 같으므로 f(−3)=g(−3) 이고 f(2)=g(2) 가 성립합니다.

step2. 기울기와 교점 성질로 연립방정식 세우기

이제 두 점 A, B의 좌표를 (−3,f(−3))과 (2,f(2))로 둘 수 있어요.

문제에서 직선 AB의 기울기가 −1이라고 했으므로, 기울기 구하는 공식을 써볼게요.

f(2)−f(−3)2−(−3)=−1

분모가 5이므로 양변에 5를 곱하면,

f(2)−f(−3)=−5 라는 첫 번째 식을 얻을 수 있어요.

다음으로 조건 (나)를 볼게요. f(−3)+g(2)=5 라고 되어 있죠?

g(2)를 그대로 두고 풀려고 하면 미지수가 많아져서 식이 풀리지 않아요. step1에서 찾은 교점의 성질을 꼭 기억하세요!

우리는 g(2)=f(2)라는 것을 알고 있으므로, 이 식을 f(−3)+f(2)=5 로 바꿔 쓸 수 있어요. 이렇게 하면 f에 대한 두 번째 식이 완성됩니다.

step3. f(x)의 식 완성하기

step2에서 구한 두 식을 연립해 볼까요?

1) f(2)−f(−3)=−5

2) f(2)+f(−3)=5

두 식을 더하면 2f(2)=0 이 되어 f(2)=0 이 됩니다.

두 식을 빼면 −2f(−3)=−10 이 되어 f(−3)=5 가 됩니다.

이제 f(x)의 식을 구체적으로 찾아볼게요.

f(x)=ax2+bx+c, g(x)=a′x2+b′x+c′ 라고 해봅시다.

문제에서 두 이차함수의 최고차항 계수의 절댓값이 같다고 했으므로 |a|=|a′| 입니다.

그리고 f(x)−g(x)의 최고차항 계수는 a−a′ 인데, 조건 (가)의 식 −4(x+3)(x−2)를 전개하면 최고차항이 −4x2이므로 a−a′=−4 가 되어야 해요.

|a|=|a′| 이면서 a−a′=−4 를 만족하는 값은 a=−2, a′=2 뿐입니다.

따라서 f(x)=−2x2+bx+c 가 됩니다.

여기에 아까 구한 f(2)=0 과 f(−3)=5 를 대입해 볼게요.

f(2)=−2(2)2+2b+c=−8+2b+c=0 ⟹ 2b+c=8

f(−3)=−2(−3)2−3b+c=−18−3b+c=5 ⟹ −3b+c=23

위의 식에서 아래 식을 빼면 5b=−15 이므로 b=−3 이 됩니다.

b=−3을 2b+c=8에 대입하면 −6+c=8 이 되어 c=14 가 됩니다.

드디어 f(x)=−2x2−3x+14 라는 식을 완성했어요!

step4. 최종 정답 계산하기

우리가 구해야 하는 값은 f(−1)+g(−1) 입니다.

먼저 f(−1)을 계산해 볼까요?

f(−1)=−2(−1)2−3(−1)+14=−2+3+14=15 입니다.

이제 g(−1)을 구해야 하는데, g(x)의 식을 따로 구해도 되지만 조건 (가)의 식을 이용하면 훨씬 빠릅니다.

f(−1)−g(−1)=−4(−1+3)(−1−2)

15−g(−1)=−4(2)(−3)

15−g(−1)=24

따라서 g(−1)=15−24=−9 가 됩니다.

최종적으로 f(−1)+g(−1)=15+(−9)=6 이 됩니다.

[정답] 3

⚡ 실전용 풀이

step1. 교점의 x좌표 구하기

f(x)−g(x)=−4(x+3)(x−2)=0

교점의 x좌표는 x=−3,2

--- 교점에서는 함숫값이 같으므로

f(−3)=g(−3),f(2)=g(2)

step2. 기울기와 교점 성질로 연립방정식 세우기

기울기: f(2)−f(−3)2−(−3)=−1⟹f(2)−f(−3)=−5

조건 (나): f(−3)+g(2)=5⟹f(−3)+f(2)=5

step3. f(x)의 식 완성하기

두 식을 연립하면 f(2)=0,f(−3)=5

f(x)=ax2+bx+c,g(x)=a′x2+b′x+c′라 하면

|a|=|a′|이고 a−a′=−4이므로 a=−2,a′=2

f(x)=−2x2+bx+c에 대입:

−8+2b+c=0⟹2b+c=8

−18−3b+c=5⟹−3b+c=23

연립하면 b=−3,c=14⟹f(x)=−2x2−3x+14

step4. 최종 정답 계산하기

f(−1)=−2+3+14=15

g(−1)=f(−1)+4(−1+3)(−1−2)=15−24=−9

∴f(−1)+g(−1)=15−9=6

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

조건 (나)의 f(−3)+g(2)=5에서 서로 다른 함수 f와 g가 섞여 있어 식을 어떻게 연립해야 할지 몰라 당황할 수 있습니다.
최고차항의 계수의 절댓값이 같다는 조건을 f(x)−g(x) 식과 연결하여 구체적인 계수 값을 확정하는 과정에서 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

두 그래프가 만나는 교점에서는 f(x)=g(x)가 성립한다는 사실을 떠올려보세요. 교점의 x좌표가 2이므로 g(2)를 f(2)로 바꿔치기하면 하나의 함수 f에 대한 연립방정식을 만들 수 있습니다.
f(x)−g(x)의 전개식에서 최고차항 계수가 −4임을 확인하고, a−a′=−4와 |a|=|a′|를 동시에 만족하는 a,a′ 값을 찾아보세요.
(팁: 교점에서의 함숫값은 어느 함수에 대입해도 같다는 점을 항상 기억하세요!)

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