2024년 9월 학력평가 수학 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]

26.

10 < a < 100

인 실수

a

에 대하여 수직선 위의 서로 다른 네 점

P (p)

Q (q)

R (r)

S (s)

가 다음 조건을 만족시킨다.
(가)

p < q < r < s

(나) 두 집합

A = {p, q, r, s}

B = {\log 10 a, \log \frac{10}{a}, \log_{a} 10 a, \log_{a} \frac{a}{10}}

에 대하여

A = B

이다.

\overset{―}{P S} = \frac{10}{3}

일 때,

30 \times \overset{―}{Q R}

의 값을 구하시오. [4점]

이 문제는 로그의 성질과 밑변환 공식을 이용하여 식을 간단히 하고, 주어진 범위를 통해 값들의 대소 관계를 파악할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

- 10 < a < 100
- p < q < r < s
-

A = {p, q, r, s}

B = {\log 10 a, \log \frac{10}{a}, \log_{a} 10 a, \log_{a} \frac{a}{10}}

- A = B
-

\overset{―}{P S} = \frac{10}{3}

이 문제는 모든 로그의 밑을 10으로 통일하고, $\log a = t$ 로 치환하여 대소 관계를 파악하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $\log a$ 의 범위 구하기 및 치환

step2. 집합 $B$ 의 원소들을 $t$ 에 대한 식으로 정리하기

step3. $t$ 의 범위를 이용하여 네 원소의 대소 관계 파악하기

step4. $\overset{―}{P S}$ 의 길이를 이용하여 $t$ 의 값 구하기

step5. $\overset{―}{Q R}$ 의 길이를 구하고 최종 정답 계산하기

- 로그의 성질 : $x > 0, y > 0$ 일 때, $\log (x y) = \log x + \log y$ , $\log (\frac{x}{y}) = \log x - \log y$

- 밑변환 공식 : $a > 0, a \neq 1, b > 0, c > 0, c \neq 1$ 일 때, $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ . 특히 $\log_{a} 10 = \frac{1}{\log a}$

집합

B

의 원소들을 보면 밑이 10인 로그와

a

인 로그가 섞여 있어요. 대소를 비교하려면 기준을 하나로 맞춰야겠죠? 밑변환 공식을 써서 모두 상용로그로 바꾸고,

\log a

를

t

로 치환하면 훨씬 쉽게 비교할 수 있습니다.

step1. $\log a$ 의 범위 구하기 및 치환

먼저 주어진 $a$ 의 범위를 이용하여 $\log a$ 의 범위를 구해볼게요.

$10 < a < 100$ 이므로 각 변에 상용로그(밑이 10인 로그)를 취하면,

$\log 10 < \log a < \log 100$

$1 < \log a < 2$ 가 됩니다.

계산을 편리하게 하기 위해 $\log a = t$ 라고 치환해 봅시다. 그러면 $t$ 의 범위는 $1 < t < 2$ 가 됩니다.

step2. 집합 $B$ 의 원소들을 $t$ 에 대한 식으로 정리하기

이제 집합 $B$ 의 네 원소를 $t$ 에 대한 식으로 바꿔볼게요.

밑변환 공식을 이용하여 밑이 $a$ 인 로그를 상용로그로 바꾸는 것이 포인트입니다.

1) $\log 10 a = \log 10 + \log a = 1 + t$

2) $\log \frac{10}{a} = \log 10 - \log a = 1 - t$

3) $\log_{a} 10 a = \log_{a} 10 + \log_{a} a = \frac{1}{\log a} + 1 = \frac{1}{t} + 1$

4) $\log_{a} \frac{a}{10} = \log_{a} a - \log_{a} 10 = 1 - \frac{1}{\log a} = 1 - \frac{1}{t}$

step3. $t$ 의 범위를 이용하여 네 원소의 대소 관계 파악하기

앞서 구한 $1 < t < 2$ 를 이용하여 네 식의 값의 범위를 각각 구해봅시다.

$t$ 의 범위뿐만 아니라 역수인 $\frac{1}{t}$ 의 범위도 정확히 구해야 대소 비교가 가능합니다.

$1 < t < 2$ 이므로 역수를 취하면 $\frac{1}{2} < \frac{1}{t} < 1$ 이 됩니다.

이를 바탕으로 각 원소의 범위를 확인해 볼까요?

- $1 + t$ 는 $1 + 1 < 1 + t < 1 + 2$ 이므로 $2 < 1 + t < 3$

- $1 - t$ 는 $1 - 2 < 1 - t < 1 - 1$ 이므로 $- 1 < 1 - t < 0$

- $1 + \frac{1}{t}$ 는 $1 + \frac{1}{2} < 1 + \frac{1}{t} < 1 + 1$ 이므로 $1.5 < 1 + \frac{1}{t} < 2$

- $1 - \frac{1}{t}$ 는 $1 - 1 < 1 - \frac{1}{t} < 1 - \frac{1}{2}$ 이므로 $0 < 1 - \frac{1}{t} < 0.5$

범위를 비교해보면 대소 관계가 명확해집니다.

$1 - t < 0 < 1 - \frac{1}{t} < 0.5 < 1.5 < 1 + \frac{1}{t} < 2 < 1 + t$

따라서 $1 - t < 1 - \frac{1}{t} < 1 + \frac{1}{t} < 1 + t$ 순서가 됩니다.

조건 (가)에서 $p < q < r < s$ 이고, 조건 (나)에서 $A = B$ 이므로,

$p = 1 - t$

$q = 1 - \frac{1}{t}$

$r = 1 + \frac{1}{t}$

$s = 1 + t$

로 확정할 수 있습니다.

step4. $\overset{―}{P S}$ 의 길이를 이용하여 $t$ 의 값 구하기

수직선 위에서 두 점 사이의 거리는 큰 좌표에서 작은 좌표를 빼면 됩니다.

$\overset{―}{P S} = s - p = (1 + t) - (1 - t) = 2 t$

문제에서 $\overset{―}{P S} = \frac{10}{3}$ 이라고 주어졌으므로,

$2 t = \frac{10}{3}$

$t = \frac{5}{3}$ 이 됩니다.

step5. $\overset{―}{Q R}$ 의 길이를 구하고 최종 정답 계산하기

이제 우리가 구해야 할 $\overset{―}{Q R}$ 의 길이를 $t$ 로 표현해 봅시다.

$\overset{―}{Q R} = r - q = (1 + \frac{1}{t}) - (1 - \frac{1}{t}) = \frac{2}{t}$

앞서 구한 $t = \frac{5}{3}$ 을 대입하면,

$\overset{―}{Q R} = \frac{2}{5 / 3} = 2 \times \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$ 이 됩니다.

최종적으로 구하는 값은 $30 \times \overset{―}{Q R}$ 이므로,

$30 \times \frac{6}{5} = 36$ 입니다.

step1. $\log a$ 의 범위 구하기 및 치환

$10 < a < 100 ⟹ 1 < \log a < 2$

$\log a = t$ 라 하면 $1 < t < 2$

step2. 집합 $B$ 의 원소들을 $t$ 에 대한 식으로 정리하기

$\log 10 a = 1 + t$

$\log \frac{10}{a} = 1 - t$

$\log_{a} 10 a = \log_{a} 10 + 1 = \frac{1}{t} + 1$

$\log_{a} \frac{a}{10} = 1 - \log_{a} 10 = 1 - \frac{1}{t}$

step3. $t$ 의 범위를 이용하여 네 원소의 대소 관계 파악하기

$1 < t < 2 ⟹ \frac{1}{2} < \frac{1}{t} < 1$

$1 - t < 0$

$0 < 1 - \frac{1}{t} < \frac{1}{2}$

$\frac{3}{2} < 1 + \frac{1}{t} < 2$

$2 < 1 + t < 3$

$∴ 1 - t < 1 - \frac{1}{t} < 1 + \frac{1}{t} < 1 + t$

$p = 1 - t, q = 1 - \frac{1}{t}, r = 1 + \frac{1}{t}, s = 1 + t$

step4. $\overset{―}{P S}$ 의 길이를 이용하여 $t$ 의 값 구하기

$\overset{―}{P S} = s - p = (1 + t) - (1 - t) = 2 t = \frac{10}{3}$

$∴ t = \frac{5}{3}$

step5. $\overset{―}{Q R}$ 의 길이를 구하고 최종 정답 계산하기

$\overset{―}{Q R} = r - q = (1 + \frac{1}{t}) - (1 - \frac{1}{t}) = \frac{2}{t}$

$\overset{―}{Q R} = \frac{2}{5 / 3} = \frac{6}{5}$

$∴ 30 \times \overset{―}{Q R} = 30 \times \frac{6}{5} = 36$

🔒 막힌 이유

집합 $B$ 의 원소들이 상용로그와 밑이 $a$ 인 로그로 섞여 있어 대소 비교를 어떻게 시작해야 할지 막막할 수 있습니다.
$a$ 의 범위만 주어져 있어서 각 로그값의 정확한 크기를 가늠하기 어려워 대소 관계를 확정 짓지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

밑변환 공식을 사용하여 모든 로그의 밑을 10으로 통일하고, $\log a$ 를 하나의 문자(예: $t$ )로 치환하여 식을 단순화하세요.
$10 < a < 100$ 에서 $t$ 의 범위를 구한 뒤, 각 원소를 $t$ 에 대한 식으로 나타내어 값의 범위를 확인하면 대소 관계가 명확해집니다.
(팁) 복잡한 로그 식의 대소 비교는 밑을 통일하고 치환하여 다항식이나 유리식의 대소 비교로 바꾸는 것이 핵심입니다.

2024년 9월 학력평가 고2 수학 26번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 로그 / 로그의 성질 / 대소 비교
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구