수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 로그함수의 증감 판단

주어진 함수 $y={\log }_{\frac{1}{3}}(x+m)$의 밑은 $\frac{1}{3}$입니다. 밑이 0과 1 사이의 값이므로 이 함수는 $x$가 증가할 때 $y$의 값은 감소하는 감소함수입니다. 밑이 1보다 작은 로그함수는 진수가 작을수록 전체 함숫값이 커집니다.

step2. 최댓값을 가지는 $x$의 값 찾기

함수가 감소함수이므로, 진수 $x+m$이 가장 작을 때 함수 $y$는 최댓값을 가집니다. 주어진 $x$의 범위가 $-3\le x\le 3$이므로, 진수가 최소가 되는 순간은 $x$가 가장 작은 값인 $x=-3$일 때입니다. $x=3$일 때 최댓값을 가진다고 착각하기 쉬우니 밑의 범위를 꼭 확인하세요.

step3. 최댓값 조건을 이용한 $m$ 계산

$x=-3$일 때의 함숫값이 최댓값 $-2$가 되어야 하므로 식을 세워보면 다음과 같습니다.

$y={\log }_{\frac{1}{3}}(-3+m)=-2$

이제 로그의 정의를 이용하여 지수 형태로 바꾸어 줍니다.

$-3+m={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=(3^{-1}{)}^{-2}=3^2=9$이므로,

$-3+m=9$

따라서 $m=12$가 됩니다.

step1. 로그함수의 증감 판단

밑이 $\frac{1}{3}$ ($0<\frac{1}{3}<1$)이므로 감소함수

step2. 최댓값을 가지는 $x$의 값 찾기

$-3\le x\le 3$에서 $x=-3$일 때 최댓값을 가짐

step3. 최댓값 조건을 이용한 $m$ 계산

${\log }_{\frac{1}{3}}(-3+m)=-2$

$-3+m={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$   --- 로그의 정의 이용

$-3+m=9$

$m=12$

$\therefore ②$