수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 조건 (나)의 식 정리하기

먼저 조건 (나)의 우변에 있는 시그마를 좌변으로 넘겨볼게요.

${\sum }_{k=1}^n{a}_{2k}-{\sum }_{k=1}^n{a}_{2k-1}=n^2$

시그마의 구간($k=1$부터 $n$까지)이 같으므로, 두 식을 하나의 시그마로 합칠 수 있어요.

${\sum }_{k=1}^n(a_{2k}-a_{2k-1})=n^2$

이렇게 묶어놓고 보니, 괄호 안의 $a_{2k}-a_{2k-1}$을 하나의 새로운 수열이라고 생각할 수 있겠죠? 편의상 이 수열을 $b_k$라고 불러볼게요. 즉, $b_k=a_{2k}-a_{2k-1}$ 입니다.

그러면 식은 ${\sum }_{k=1}^n{b}_k=n^2$ 이 됩니다.

step2. 수열의 합과 일반항의 관계 이용하기

${\sum }_{k=1}^n{b}_k=n^2$ 이라는 것은, 수열 $b_n$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $n^2$이라는 뜻이에요.

수열의 합 $S_n$을 알 때 일반항 $b_n$을 구하는 공식을 써볼까요?

$b_n=S_n-S_{n-1}$

$b_n=n^2-(n-1{)}^2$

$b_n=n^2-(n^2-2n+1)=2n-1$ ($n\ge 2$)

$n=1$일 때를 확인해보면 $b_1=S_1=1^2=1$이고, 방금 구한 식에 $n=1$을 넣어도 $2(1)-1=1$로 똑같네요. 따라서 모든 자연수 $n$에 대해 $b_n=2n-1$이 성립합니다.

여기서 구한 $2n-1$은 수열 $a_n$의 일반항이 아니라, 우리가 치환했던 $a_{2n}-a_{2n-1}$의 값이라는 점을 절대 잊으면 안 됩니다!

즉, $a_{2n}-a_{2n-1}=2n-1$ 이라는 아주 중요한 관계식을 얻어냈어요.

step3. 주어진 조건을 연립하여 $a_{11}$ 구하기

이제 우리가 알아낸 관계식 $a_{2n}-a_{2n-1}=2n-1$을 이용해서 목표인 $a_{11}$을 향해 징검다리를 건너가 볼게요.

문제에서 $a_9=16$이라고 알려주었어요. $a_9$를 써먹으려면 관계식에 $n=5$를 대입해야겠죠?

$n=5$일 때: $a_{10}-a_9=2(5)-1=9$

$a_{10}-16=9$ 이므로, $a_{10}=25$가 됩니다.

그 다음, 조건 (가)에서 $a_{12}-a_{10}=5$라고 했어요.

방금 구한 $a_{10}=25$를 대입하면,

$a_{12}-25=5$ 이므로, $a_{12}=30$이 됩니다.

마지막으로 우리가 구하고 싶은 $a_{11}$을 찾기 위해, 관계식에 $n=6$을 대입해볼게요.

$n=6$일 때: $a_{12}-a_{11}=2(6)-1=11$

우리가 찾은 $a_{12}=30$을 대입하면,

$30-a_{11}=11$

따라서 $a_{11}=30-11=19$가 됩니다.

step1. 조건 (나)의 식 정리하기

${\sum }_{k=1}^n{a}_{2k}-{\sum }_{k=1}^n{a}_{2k-1}=n^2$

${\sum }_{k=1}^n(a_{2k}-a_{2k-1})=n^2$

step2. 수열의 합과 일반항의 관계 이용하기

$a_{2n}-a_{2n-1}=n^2-(n-1{)}^2=2n-1$   --- ($n\ge 2$, $n=1$일 때도 성립)

step3. 주어진 조건을 연립하여 $a_{11}$ 구하기

$n=5$ 대입: $a_{10}-a_9=9$

$a_{10}-16=9⟹a_{10}=25$

$a_{12}-a_{10}=5$   --- (조건 가 이용)

$a_{12}-25=5⟹a_{12}=30$

$n=6$ 대입: $a_{12}-a_{11}=11$

$30-a_{11}=11⟹a_{11}=19$

$\therefore 19$