수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 첫 번째 조건식 정리하기

등비수열의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 해볼게요.

문제에서 $a_3{a}_5=8a_8$ 이라고 했으므로, 이를 $a$와 $r$로 나타내면 다음과 같습니다.

$(a{r}^2)(a{r}^4)=8a{r}^7$

좌변을 곱하면 $a^2{r}^6=8a{r}^7$ 이 됩니다.

문제에서 첫째항이 음수($a<0$)라고 했으므로 $a$는 $0$이 아닙니다. 또한 $r=0$이라면 모든 항이 $0$이 되어 $a<0$ 조건에 맞지 않으므로 $r\ne 0$입니다.

따라서 양변을 $a{r}^6$으로 나눌 수 있어요.

$a=8r$

step2. 공비 $r$의 부호 판별하기

방금 구한 $a=8r$과 문제의 조건인 $a<0$을 연결하는 것이 이 문제의 키포인트입니다.

$a<0$ 이므로 $8r<0$ 이 되어야 하고, 따라서 공비 $r$은 음수($r<0$)라는 것을 알 수 있습니다.

step3. 두 번째 조건식의 절댓값 풀기

이제 두 번째 조건인 $a_1+|a_2|+|2a_3|=0$ 을 $a$와 $r$로 표현해볼게요.

$a+|ar|+|2a{r}^2|=0$

여기에 $a=8r$을 대입하면,

$8r+|8r^2|+|16r^3|=0$ 이 됩니다.

이제 절댓값을 풀어야 하는데, $r<0$ 이라는 사실을 기억해야 해요.

$r<0$ 이므로 $r^2>0$ 이고, $r^3<0$ 입니다.

$r^3$이 음수이므로 $|16r^3|$은 부호가 바뀌어 $-16r^3$으로 나와야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다.

따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$8r+8r^2-16r^3=0$

step4. 방정식 풀고 $a_2$ 구하기

위에서 구한 식의 양변을 $-8r$로 나누어 줄게요. ($r\ne 0$ 이니까 가능해요)

$-1-r+2r^2=0$

순서를 예쁘게 바꾸면 $2r^2-r-1=0$ 이 됩니다.

인수분해를 하면 $(2r+1)(r-1)=0$ 이 되죠.

따라서 $r=-\frac{1}{2}$ 또는 $r=1$ 입니다.

그런데 단계 2에서 $r<0$ 이라고 했으므로, $r=-\frac{1}{2}$ 이 맞습니다.

이제 $a$를 구해보면 $a=8r=8\times (-\frac{1}{2})=-4$ 입니다.

우리가 구해야 하는 값은 $a_2$ 이므로,

$a_2=ar=(-4)\times (-\frac{1}{2})=2$ 가 됩니다.

step1. 첫 번째 조건식 정리하기

$a_3{a}_5=8a_8$

$(a{r}^2)(a{r}^4)=8a{r}^7$

$a^2{r}^6=8a{r}^7$

--- $a<0,r\ne 0$이므로 양변을 $a{r}^6$으로 나누면

$a=8r$

step2. 공비 $r$의 부호 판별하기

$a<0$이므로 $8r<0$

$\therefore r<0$

step3. 두 번째 조건식의 절댓값 풀기

$a_1+|a_2|+|2a_3|=0$

$a+|ar|+|2a{r}^2|=0$

--- $a=8r$을 대입하면

$8r+|8r^2|+|16r^3|=0$

--- $r<0$이므로 $r^2>0,r^3<0$임을 이용

$8r+8r^2-16r^3=0$

step4. 방정식 풀고 $a_2$ 구하기

--- 양변을 $-8r$로 나누면

$2r^2-r-1=0$

$(2r+1)(r-1)=0$

$r=-\frac{1}{2}$   --- $\because r<0$

$a=8\times (-\frac{1}{2})=-4$

$\therefore a_2=ar=(-4)\times (-\frac{1}{2})=2$