2024년 9월 학력평가 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 분자와 분모의 최고차항의 차수를 비교하여 극한값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 분자의 식을 전개하여 다항식 형태로 만듭니다.

step2. 분모와 분자의 최고차항의 차수를 비교합니다.

step3. 차수가 같으므로 최고차항의 계수비를 구하여 극한값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 무한대 분의 무한대 꼴의 극한 : 분모와 분자가 모두 다항식이고 $x \to \infty$ 일 때, 분모와 분자의 차수가 같으면 극한값은 최고차항의 계수의 비와 같습니다.

5. 구체적 풀이

x

가 무한대로 커질 때, 다항식에서는 가장 차수가 높은 항이 전체의 크기를 결정해요. 따라서 분자와 분모의 가장 높은 차수 항만 비교하면 쉽게 답을 찾을 수 있습니다.

step1. 분자 전개하기

먼저 분자인 $(2 x + 1)^{2}$ 을 전개해 볼게요.

$(2 x + 1)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 1 + 1^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$ 이 됩니다.

여기서 $(2 x)^{2}$ 을 계산할 때 $2$ 도 제곱해야 한다는 점을 놓치기 쉬워요. $2 x^{2}$ 이 아니라 $4 x^{2}$ 이 맞습니다.

step2. 최고차항 비교하기

이제 원래 식을 다시 써보면 ${lim}_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} + 4 x + 5}$ 가 됩니다.

분모의 최고차항은 $x^{2}$ 이고, 분자의 최고차항은 $4 x^{2}$ 입니다.

두 다항식 모두 2차식으로 차수가 같다는 것을 알 수 있어요.

step3. 극한값 계산하기

$x$ 가 무한대로 갈 때 분모와 분자의 차수가 같다면, 극한값은 최고차항의 계수비와 같습니다.

분모의 최고차항 계수는 $1$ , 분자의 최고차항 계수는 $4$ 입니다.

따라서 구하는 극한값은 $\frac{4}{1} = 4$ 가 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 분자 전개

${lim}_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1)^{2}}{x^{2} + 4 x + 5}$

$= {lim}_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} + 4 x + 5}$

step2. 최고차항 비교

--- 분모와 분자의 최고차항이 모두 2차이므로

step3. 극한값 계산

$= \frac{4}{1} = 4$

$∴ ④$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

분자의 $(2 x + 1)^{2}$ 을 전개할 때, $2 x$ 전체를 제곱해야 한다는 사실을 잊고 최고차항의 계수를 $2$ 로 착각하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

분자를 완전히 전개하여 $4 x^{2} + 4 x + 1$ 로 만들거나, 최고차항인 $2 x$ 만 따로 제곱하여 분자의 최고차항이 $4 x^{2}$ 임을 정확히 파악해야 합니다.
다항식의 거듭제곱이 포함된 극한에서는 최고차항만 먼저 전개해 보는 습관을 들이면 좋습니다.

2024년 9월 학력평가 고2 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅱ · 함수의 극한 / 무한대에서의 극한
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구