수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. (가) 조건을 이용해 $f(x)$의 일부 구하기

$f(x)$는 이차함수이므로 $f(x)=p{x}^2+qx+r$ ($p>0$)로 둘 수 있어요.

먼저 $\sqrt{x^2}$을 그냥 $x$로 꺼내면 안 되고 반드시 $|x|$로 바꾸어 생각해야 해요.

$x\to 0$일 때 분모는 $0+f(0)=r$이 됩니다. 만약 $r\ne 0$이라면, 극한값은 $\frac{0-r}{0+r}=-1$이 되어 좌극한과 우극한의 곱이 $(-1)\times (-1)=1$이 됩니다. 하지만 조건에서 곱이 $-2$라고 했으므로 모순이죠?

따라서 $f(0)=0$ 즉, $r=0$이어야 함을 알 수 있어요. 이제 $f(x)=p{x}^2+qx$입니다.

좌극한($x\to 0-$)일 때는 $x<0$이므로 $|x|=-x$가 됩니다.

${lim}_{x\to 0-}\frac{-x-(p{x}^2+qx)}{x+(p{x}^2+qx)}={lim}_{x\to 0-}\frac{x(-1-px-q)}{x(1+px+q)}=\frac{-1-q}{1+q}$

우극한($x\to 0+$)일 때는 $x>0$이므로 $|x|=x$가 됩니다.

${lim}_{x\to 0+}\frac{x-(p{x}^2+qx)}{x+(p{x}^2+qx)}={lim}_{x\to 0+}\frac{x(1-px-q)}{x(1+px+q)}=\frac{1-q}{1+q}$

이 둘의 곱이 $-2$이므로 식을 세워볼까요?

$\frac{-1-q}{1+q}\times \frac{1-q}{1+q}=-2$

$\frac{-(1+q)(1-q)}{(1+q{)}^2}=-2$

분모와 분자에서 $1+q$를 약분하면 (단, $q\ne -1$)

$\frac{-(1-q)}{1+q}=-2⟹\frac{q-1}{q+1}=-2$

$q-1=-2(q+1)⟹q-1=-2q-2⟹3q=-1⟹q=-\frac{1}{3}$

여기까지 $f(x)=p{x}^2-\frac{1}{3}x$라는 것을 알아냈어요.

step2. (나) 조건의 분모가 0이 되는 지점 찾기

이제 (나) 조건을 볼게요. ${lim}_{x\to a}\frac{f(x-4)f(x+1)}{|x|-3}$의 값이 존재하지 않는 실수 $a$가 1개라고 했어요.

분수 형태의 극한이 존재하지 않으려면 기본적으로 분모가 0이 되는 곳을 의심해야 해요.

분모 $|x|-3=0$을 풀면 $|x|=3$이므로 $x=3$ 또는 $x=-3$입니다.

즉, 극한값이 존재하지 않을 후보는 $a=3$과 $a=-3$ 두 곳이에요.

step3. 최고차항의 계수 $p$ 구하기

후보는 2개인데 극한값이 존재하지 않는 곳은 1개뿐이라고 했죠? 그 말은 $x=3$과 $x=-3$ 중 한 곳에서는 극한값이 존재한다는 뜻이에요.

분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하려면 분자도 0으로 가야 합니다.

먼저 $x=-3$일 때 분자를 확인해 볼까요?

분자는 $f(-3-4)f(-3+1)=f(-7)f(-2)$가 됩니다.

우리가 찾은 $f(x)=p{x}^2-\frac{1}{3}x$에서 $p>0$이므로, 음수를 대입하면 양수 더하기 양수가 되어 무조건 0보다 커요.

$f(-7)=49p+\frac{7}{3}>0$, $f(-2)=4p+\frac{2}{3}>0$

따라서 $f(-7)f(-2)\ne 0$이므로 $x=-3$에서는 분자가 0이 되지 않아 극한값이 존재하지 않습니다.

그렇다면 조건에 맞게 극한값이 존재하지 않는 곳이 딱 1개($x=-3$)가 되려면, 나머지 후보인 $x=3$에서는 반드시 극한값이 존재해야 해요!

$x=3$일 때 분자는 $f(3-4)f(3+1)=f(-1)f(4)$입니다.

이 값이 0이 되어야 하는데, 방금 확인했듯이 $f(-1)>0$이므로 $f(4)=0$이어야만 합니다.

$f(4)=p(4{)}^2-\frac{1}{3}(4)=16p-\frac{4}{3}=0$

$16p=\frac{4}{3}⟹p=\frac{1}{12}$

드디어 $f(x)=\frac{1}{12}{x}^2-\frac{1}{3}x$로 함수가 완벽히 구해졌어요.

step4. $f(24)$ 계산하기

이제 구한 함수식에 $x=24$를 대입하기만 하면 됩니다.

$f(24)=\frac{1}{12}(24{)}^2-\frac{1}{3}(24)$

$=\frac{1}{12}\times 576-8$

$=48-8=40$

따라서 우리가 구하고자 하는 값은 40입니다.

step1. (가) 조건을 이용해 $f(x)$의 일부 구하기

$f(x)=p{x}^2+qx+r$   --- $p>0$

$\sqrt{x^2}=|x|$

--- $x\to 0$일 때 분모 $\to 0$이므로 극한값이 존재하려면

$f(0)=0⟹r=0$

${lim}_{x\to 0-}\frac{-x-p{x}^2-qx}{x+p{x}^2+qx}=\frac{-1-q}{1+q}$

${lim}_{x\to 0+}\frac{x-p{x}^2-qx}{x+p{x}^2+qx}=\frac{1-q}{1+q}$

$\frac{-1-q}{1+q}\times \frac{1-q}{1+q}=-2⟹\frac{q-1}{q+1}=-2⟹q=-\frac{1}{3}$

$f(x)=p{x}^2-\frac{1}{3}x$

step2. (나) 조건의 분모가 0이 되는 지점 찾기

분모 $\sqrt{x^2}-3=|x|-3=0⟹x=\pm 3$

step3. 최고차항의 계수 $p$ 구하기

$x=-3$일 때 분자: $f(-7)f(-2)$

$p>0$이므로 $f(-7)>0,f(-2)>0⟹f(-7)f(-2)\ne 0$

--- $x=-3$에서 극한값 존재 안 함. 따라서 $x=3$에서는 극한값 존재해야 함.

$x=3$일 때 분자: $f(-1)f(4)=0$

$f(-1)>0$이므로 $f(4)=0$

$16p-\frac{4}{3}=0⟹p=\frac{1}{12}$

step4. $f(24)$ 계산하기

$f(x)=\frac{1}{12}{x}^2-\frac{1}{3}x$

$\therefore f(24)=\frac{1}{12}(24{)}^2-\frac{1}{3}(24)=48-8=40$