수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $S_6=9S_3$을 식으로 나타내기

등비수열의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 해볼게요. 공비가 양수라고 했으니 $r>0$이에요. 만약 $r=1$이라면 $S_6=6a$, $S_3=3a$가 되어 $6a=27a$, 즉 $a=0$이 되는데, 이는 $a_2=2$라는 조건에 맞지 않아요. 따라서 $r\ne 1$입니다.

이제 등비수열의 합 공식을 써서 $S_6=9S_3$을 식으로 나타내면,

$\frac{a(r^6-1)}{r-1}=9\times \frac{a(r^3-1)}{r-1}$ 이 됩니다.

step2. 인수분해하여 공비 $r$ 구하기

양변에 $\frac{r-1}{a}$를 곱해서 식을 간단히 정리해볼까요?

$r^6-1=9(r^3-1)$ 이 되죠.

여기서 $r^6-1$을 $(r^3{)}^2-1^2$으로 보고 합차 공식을 적용하여 $(r^3-1)(r^3+1)$로 인수분해하는 것 이 중요해요.

$(r^3-1)(r^3+1)=9(r^3-1)$

$r\ne 1$이므로 $r^3-1$은 $0$이 아니에요. 따라서 양변을 $r^3-1$로 나눌 수 있습니다.

$r^3+1=9$

$r^3=8$

어떤 수를 세 번 곱해야 $8$이 될까요? $r$은 실수이므로 $r=2$가 됩니다. 공비가 양수라는 조건에도 잘 맞네요!

step3. $a_4$의 값 계산하기

이제 $a_4$를 구해볼게요. 첫째항 $a$를 구해서 $a_4=a{r}^3$으로 계산해도 되지만, 더 쉬운 방법이 있어요.

굳이 첫째항 $a$를 구하느라 시간을 쓰거나 계산 실수를 할 필요가 없어요.

우리는 이미 $a_2=2$라는 것을 알고 있죠? 등비수열에서 제4항은 제2항에 공비를 두 번 곱하면 되니까,

$a_4=a_2\times r^2$

$a_4=2\times 2^2=2\times 4=8$

이렇게 정답을 빠르고 정확하게 구할 수 있습니다.

step1. $S_6=9S_3$을 식으로 나타내기

$S_6=\frac{a(r^6-1)}{r-1}$, $S_3=\frac{a(r^3-1)}{r-1}$

$\frac{a(r^6-1)}{r-1}=9\frac{a(r^3-1)}{r-1}$

step2. 인수분해하여 공비 $r$ 구하기

$r^6-1=9(r^3-1)$

$(r^3-1)(r^3+1)=9(r^3-1)$

--- $r\ne 1$이므로 양변을 $r^3-1$로 나누면

$r^3+1=9$

$r^3=8$

$\therefore r=2$

step3. $a_4$의 값 계산하기

$a_4=a_2·r^2$

$a_4=2·2^2=8$

$\therefore 8$