수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 방정식을 $\sin x$에 대한 식으로 변형하기

주어진 방정식은 ${\cos }^{2}x-1=2\sin x$ 예요. 여기서 $\cos$와 $\sin$이 섞여 있으니 하나로 통일해 볼까요? ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 이라는 성질을 이용하면 ${\cos }^{2}x-1=-{\sin }^{2}x$ 로 바꿀 수 있어요. 이것을 원래 방정식에 대입하면 $-{\sin }^{2}x=2\sin x$ 가 됩니다.

step2. $\sin x$의 값 구하기

이제 식을 한쪽으로 넘겨서 정리해 볼게요. ${\sin }^{2}x+2\sin x=0$ 이 되죠? 공통인수인 $\sin x$로 묶어주면 $\sin x(\sin x+2)=0$ 으로 인수분해할 수 있어요. 따라서 $\sin x=0$ 이거나 $\sin x=-2$ 가 되어야 해요. 그런데 $\sin x$의 값은 항상 $-1$ 이상 $1$ 이하의 값만 가질 수 있으므로, $\sin x=-2$ 는 불가능해요. 결국 우리가 찾는 조건은 $\sin x=0$ 하나뿐이랍니다.

step3. 주어진 범위에서 해 구하기

이제 $\sin x=0$ 을 만족하는 $x$의 값을 찾아야 해요. 문제에서 주어진 $x$의 범위가 $0<x\le 2\pi$ 라는 점을 꼭 확인해야 해요. $0$은 포함되지 않고 $2\pi$는 포함된답니다. 이 범위 안에서 사인 함수의 그래프를 떠올려보면, $\sin x=0$ 이 되는 $x$의 값은 $\pi$ 와 $2\pi$ 예요. 따라서 모든 해의 합은 $\pi +2\pi =3\pi$ 가 됩니다.

step1. 방정식을 $\sin x$에 대한 식으로 변형하기

${\cos }^{2}x-1=2\sin x$

$-{\sin }^{2}x=2\sin x$   --- ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 이용

step2. $\sin x$의 값 구하기

${\sin }^{2}x+2\sin x=0$

$\sin x(\sin x+2)=0$

$\sin x=0$   --- $-1\le \sin x\le 1$ 이므로

step3. 주어진 범위에서 해 구하기

$0<x\le 2\pi$ 에서 $\sin x=0$ 인 $x$는

$x=\pi ,2\pi$

모든 해의 합 $=\pi +2\pi =3\pi$

$\therefore ④$