수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $\theta =\frac{\pi }{5}x$ 로 치환하고 범위 구하기

먼저 복잡한 각을 간단하게 만들기 위해 $\theta =\frac{\pi }{5}x$ 로 치환해 볼게요.

치환을 했으니 $\theta$ 의 범위도 새롭게 구해줘야겠죠?

문제에서 $0<x\le 10$ 이라고 했으므로, 양변에 $\frac{\pi }{5}$ 를 곱해주면

$0<\frac{\pi }{5}x\le 2\pi$ 가 됩니다.

따라서 $\theta$ 의 범위는 $0<\theta \le 2\pi$ 입니다.

step2. $\cos \theta <\sin \theta$ 풀기

이제 부등식은 $\cos \theta <\sin \theta$ 로 아주 간단해졌어요.

여기서 양변을 $\cos \theta$ 로 나누어 $\tan \theta >1$ 로 풀려고 하면, $\cos \theta$ 가 음수일 때 부등호 방향이 바뀌므로 실수하기 쉽습니다.

대신 $y=\sin \theta$ 와 $y=\cos \theta$ 의 그래프를 $0<\theta \le 2\pi$ 범위에서 그려서 비교해 봅시다.

두 그래프의 교점은 $\sin \theta =\cos \theta$ 인 곳, 즉 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 와 $\theta =\frac{5\pi }{4}$ 입니다.

그래프에서 $\sin \theta$ 가 $\cos \theta$ 보다 위쪽에 있는 구간을 찾으면 $\frac{\pi }{4}<\theta <\frac{5\pi }{4}$ 가 됩니다.

step3. $x$ 의 범위 구하고 자연수 해 찾기

이제 $\theta$ 를 다시 원래의 $\frac{\pi }{5}x$ 로 되돌려 줄 차례입니다.

$\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{5}x<\frac{5\pi }{4}$

우리가 알고 싶은 것은 $x$ 의 범위이므로, 양변에 $\frac{5}{\pi }$ 를 곱해줍니다.

$\frac{5}{4}<x<\frac{25}{4}$

소수로 표현하면 $1.25<x<6.25$ 가 되네요.

이 범위를 만족하는 자연수 $x$ 는 $2,3,4,5,6$ 입니다.

따라서 모든 자연수 $x$ 의 값의 합은 $2+3+4+5+6=20$ 입니다.

step1. 치환 및 범위 설정

$\theta =\frac{\pi }{5}x$ 로 치환

$0<x\le 10$ 이므로 $0<\theta \le 2\pi$

step2. 삼각부등식 풀이

$\cos \theta <\sin \theta$

--- $y=\sin \theta$ 와 $y=\cos \theta$ 의 그래프 교점은 $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$ 이므로

$\frac{\pi }{4}<\theta <\frac{5\pi }{4}$

step3. $x$ 의 범위 및 자연수 합 계산

$\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{5}x<\frac{5\pi }{4}$

$\frac{5}{4}<x<\frac{25}{4}$

$1.25<x<6.25$

--- $x$ 는 자연수이므로

$x=2,3,4,5,6$

$\therefore 2+3+4+5+6=20$