2024년 9월 학력평가 수학 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 등차수열의 일반항 또는 등차중항의 성질을 이용하여 식의 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 등차수열의 일반항을 이용하여 주어진 조건을 첫째항과 공차에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 구하고자 하는 값도 첫째항과 공차에 대한 식으로 나타냅니다.

step3. 두 식의 관계를 이용하여 최종 답을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 등차수열의 일반항 : 첫째항이 $a$ , 공차가 $d$ 인 등차수열의 제 $n$ 항은 $a_{n} = a + (n - 1) d$ 이다.

- 등차중항 : 세 수 $x, y, z$ 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $y$ 를 $x$ 와 $z$ 의 등차중항이라 하며 $2 y = x + z$ 가 성립한다.

5. 구체적 풀이

등차수열 문제에서 미지수(첫째항, 공차)는 2개인데 조건식이 1개뿐이라면, 미지수를 각각 구하는 것이 아니라 식 전체의 값을 구하는 문제일 가능성이 높아요. 항들의 인덱스(아래첨자)에 주목해 보세요.

step1. 주어진 조건을 첫째항과 공차로 표현하기

등차수열의 첫째항을 $a$ , 공차를 $d$ 라고 해볼게요. 그러면 각 항은 $a_{n} = a + (n - 1) d$ 로 나타낼 수 있어요.

주어진 조건 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 18$ 에 이를 대입해 봅시다.

$a_{3} = a + 2 d$

$a_{5} = a + 4 d$

$a_{7} = a + 6 d$

이 세 항을 더하면,

$(a + 2 d) + (a + 4 d) + (a + 6 d) = 3 a + 12 d$ 가 됩니다.

따라서 $3 a + 12 d = 18$ 이고, 양변을 3으로 나누면 $a + 4 d = 6$ 이라는 식을 얻을 수 있어요.

여기서 $a$ 와 $d$ 의 값을 각각 구하려고 하면 식이 부족해서 막힐 수 있어요. 이럴 때는 구한 식을 그대로 두고 다음 단계로 넘어가는 것이 중요해요.

step2. 구하고자 하는 값을 식으로 나타내기

이제 우리가 구해야 하는 $a_{4} + a_{6}$ 을 똑같이 $a$ 와 $d$ 로 표현해 볼게요.

$a_{4} = a + 3 d$

$a_{6} = a + 5 d$

이 둘을 더하면,

$a_{4} + a_{6} = (a + 3 d) + (a + 5 d) = 2 a + 8 d$ 가 됩니다.

step3. 두 식의 관계를 이용하여 답 구하기

step1에서 구한 식과 step2에서 구한 식을 비교해 볼까요?

우리가 알고 있는 것은 $a + 4 d = 6$ 이고, 구해야 하는 것은 $2 a + 8 d$ 예요.

$2 a + 8 d$ 는 $a + 4 d$ 의 정확히 2배라는 것을 알 수 있어요. 즉, $2 a + 8 d = 2 (a + 4 d)$ 입니다.

따라서 구하고자 하는 값은 $2 \times 6 = 12$ 가 됩니다.

(참고로, 등차중항의 성질을 이용하면 더 빠르게 풀 수도 있어요. $a_{3} + a_{7} = 2 a_{5}$ 이므로 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 3 a_{5} = 18$ 에서 $a_{5} = 6$ 을 바로 얻고, $a_{4} + a_{6} = 2 a_{5}$ 이므로 $2 \times 6 = 12$ 로 계산할 수 있답니다.)

⚡ 실전용 풀이

step1. 주어진 조건을 첫째항과 공차로 표현하기

$a_{3} + a_{5} + a_{7} = 18$

$(a + 2 d) + (a + 4 d) + (a + 6 d) = 18$

$3 a + 12 d = 18$

$a + 4 d = 6$

step2. 구하고자 하는 값을 식으로 나타내기

$a_{4} + a_{6} = (a + 3 d) + (a + 5 d)$

$= 2 a + 8 d$

step3. 두 식의 관계를 이용하여 답 구하기

$= 2 (a + 4 d)$ --- $a + 4 d = 6$ 을 대입하면

$= 2 \times 6 = 12$

$∴ 12$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

등차수열의 항들이 주어졌을 때, 첫째항과 공차를 각각 구하려고 시도하다가 식이 하나밖에 없어서 당황할 수 있습니다.
등차중항의 성질을 떠올리지 못해 계산이 복잡해지거나 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

첫째항과 공차를 각각 구하지 못하더라도, 구하고자 하는 식의 형태를 만들어낼 수 있는지 확인합니다.
등차수열의 합이나 여러 항의 합이 주어졌을 때는 항들의 인덱스(첨자)의 평균을 확인하여 등차중항을 활용해 봅니다.
(팁: 등차수열에서 인덱스의 합이 같으면 항들의 합도 같습니다. 예: $3 + 7 = 4 + 6 ⟹ a_{3} + a_{7} = a_{4} + a_{6}$ )

2024년 9월 학력평가 고2 수학 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학 Ⅰ · 등차수열 / 등차중항
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구